△t 时间内外力对该段流体做功：
b b
v2 t
p2
v2
A1 p1S1v1t p1V A2 p2 S2v2 t p2 V
由功能原理 ：
a
p1
a
S2
v1
A Ek E p
S1 v1 t1
h2
h1 1 2 2 (p1 p2 )V (v2 v1 )V g (h2 h1 )V 2
vB
性质：流线不能相交。 流线密处流速大， 流线稀处流速小 流管
B
vA
A
N
M
由一组流线围成的管状区域称为流管。 性质：流线不能穿过流管管壁， 流管内外的流体不能掺混。 对稳定流动， 流线和流管都不随时间变化，流管和真的管道相似。
四、理想流体稳流的连续性原理
体积流量
单位时间内通过流体中某一面积的流体体积
ΔS
F 单位面积上切向应力——剪切力 lim S 0 S (切应力） 成为流体相对运动时的内摩擦力
单位面积上法向应力——压强
Fn p lim S 0 S
F
任取一个小面元ds , 作用在此面元上的力为 df
p df ds
静止流体: 只存在法向应力！ds源自p 称为（流体静力学）压强
用单位质量受力来表示
单位体积力 重力场中
f 1 f 1 df F( x, y, z ) lim lim m 0 m V 0 V dV mg F g m
2. 表面力(面积力)
作用在所研究的流体质元表面上的力，与表面积大小成正比。 Fn F lim F 应力 S 0 S
p p(x, y, z)
p dx p dx df x ( p ) (p )dydz 取正六面体的流体元 x 2 x 2 p dxdydz x 作用于流体元的面积力： p df y dxdydz y p df z dxdydz z
b b
S2
a
a
v2
v1
v2 t
S1
V1 S1v1t
由连续性原理得
V2 S2 v2 t
V1 V2 V
v1 t
流体经过△t 时间内 动能增量：
1 1 2 2 Ek V v2 V v1 2 2
6-3
伯努利方程及其应用
1 1 2 2 流体△t时间内 动能增量： Ek V v2 V v1 2 2 流体△t 时间内势能增量： E p Vgh2 Vgh1
实际流体：可压缩，有粘滞性。 理想流体：不可压缩， 无粘滞性。
三、稳定流动
流线和流管
对应，形成一个矢量场—流速场。
任一时刻，流体空间中的每一点都有一个流速 v 与之
稳定流动：流速只是空间坐标的函数而不依赖于时间。 简称稳流。
6-2 理想流体的稳定流动
流线 流速场中绘出的曲线，曲线上每一点的切线方向沿该点的 流元的速度方向。
1 2 1 2 p1 gh1 v1 p2 gh2 v2 2 2
1 2 p gh v 常量 2
------伯努利方程
6-3
伯努利方程及其应用
1 2 p gh v 常量 ------伯努利方程 2
1）伯努利方程实质：流体力学中的能量转换与守恒定律。
dx
df pdxdydz 设单位质量流体的体积力为 F , 对 dm dxdydz
则体积力为
p p p df df x i df y j df z k ( i j k )dxdydz x y z
p df x dxdydz x dz p 作用于流体元的面积力： df y dxdydz y dy p df z dxdydz z
f x pxy z
z
y
x
f x fn sin 0 流元静止 f z fn cos m g 0 1 m xyz
2
x px y z pn y cos sin 0 p y x p y x cos g 1 xyz 0 n z cos 2 x , y , z 0 px pn 可得 p p g 1 z px pz pn z n 2 进一步 px py pz pn 与面元取向无关
0 t
v ds 0
S
理想流体稳流的连续性原理 （理想流体稳定流动 时，流速与截面的关系） 流管不随时间变化，类似真实管道
B
S2
质量守恒
v2
ρ1v1t S1 2v2t S2
ρ1v1S1 ρ2 v2S2
A
S1
v1
v 2 t
v1t
对任意流管
F浮 m液g
讨论：浸没在流体中的物体的稳定性以及悬浮在流体中的物体 的稳定性问题
六、表面张力
液体具有收缩其表面，使表面积达到最小的趋势。这说明液 体表面存在着张力,称为表面张力。
由分子的内聚力引起
l
f f
实验表明 f l
称为表面张力系数
接触角
N m 1
七、毛细现象
S
dm Qm dt
S
v dsdt
S
V
dt 时间内闭合曲面内流体质量的增量
ds
dm

V
(r , t dt)dV (r , t)dV
V
质量守恒
对不可压缩流体
dV dt dV dt t V V t dm dm S v ds V t dV ----流体的连续性原理
F p x x p Fy y Fz p z
三、重力场中静止流体的压强分布
重力场中体积力Fx=Fy=0，Fz=g
p p p 0; 0; g x y z
深度z=zA处的压强pA，z=zB处的压强pB ；
zB
y
x
z
dp g dz
ds

v

ds
v
可认为面元上各点流速 v相同
dV ds vdt cos
单位时间内流过面元的流体体积
ds dsn
ds
vdt
ds
质量流量
dV ds vdt cos dQV v ds dt dt
对一封闭曲面S 单位时间内流过的流体体积
若密度为常量
pB pA gdz
zA
pB pA g( zB z A )
深度z=zA处的压强pA，z=zB处的压强pB ；
pB pA gdz
zA
zB
y
x
z
若密度为常量 或
pB pA g( zB z A )
pB pA gh
p1
h zB z A
对不可压缩流体
ρvS 常量
v1S1 v2 S2
1 2
vS 常量 －－理想流体稳流的连续性原理
截面大处流速小；截面小处流速大。
6-3 伯努利方程及其应用
重力场中，理想流体稳定流动时， 流体的压强、流 速、高度的关系。
一、伯努利方程的推导
取一细流管ａｂ，经△t 时间 ，截面 △S1 从 位置 a → a’，截面 △S2 从 b →b’ 流过两截面的体积分别为
γ g 四、帕斯卡原理（自学）
作用在密闭容器中流体上的压强等值地传 到流体各处和器壁上去。
五、阿基米德原理（自学）
F浮
ρgdV
S
同种均匀液体
V
F浮 m液g
液体的重心—浮心 换成其他物体，浮力大小不变，浮心位置不变 阿基米德原理：在重力场中，全部或部分浸没在静止流体中的物 体所受的浮力大小等于物体排开的流体的重量，浮力的方向竖直 向上，且通过排开流体的重心。
2） 适用范围：理想流体，同一流管，稳定流动。
特例：
a.
P0
v 0
P + ρghA = PB + ρghB 0
（b）
液面BC位置处的压强
pB pC p0
pB pA gh
2 p cos h g gr
p gh
(a) (b )
6-2 理想流体的稳定流动
一、流体运动的描述方法 1.拉格朗日法
以研究个别流元的运动为基础，通过对每个流元运动规 律的研究来获得整个流体的运动规律。 着眼于流体质元
df
任取一个小面元ds , 作用在此面元上的力为 df
df p ds
静止流体只存在法向应力！
ds
p 称为（流体静力学）压强
df
3.静流体中压强的特点——与面元取向无关
取流元：流体中取一直角三棱柱体
z
f x
x
fn

f z
f z pz y x x fn pns pny cos
S
QV dQV v ds
S
单位时间内通过流体中某一面积的流体质量
dQm v ds
Qm dQm v ds
S
单位时间通过流体中闭合曲面的流体质量 dt 时间内通过闭合曲面的流体质量
Qm dQm v ds

液体浸润固体
液体不浸润固体 完全浸润 完全不浸润


液固间附着力
小于液体的内聚力
液固间附着力 大于液体的内聚力
π 2 π 2 0

π
A h B C （a）
设液体的密度 表面张力系数

毛细管半径