V ( xi ) V ( x) n
或：
s( x)
s ( xi ) n
• 测量的随机误差的其它表达方式 ①平均误差 ：各真误差绝对值的算术平均值。

xi
1 n
nБайду номын сангаас

xi x
1
n
n(n 1)
0.7979
②或然误差（亦称中误差）：各真误差取绝对值后，按
大小排列，位于中间的那个误差（偶数时为中间两个 平均值）。
V C0 Ax Cx A0
r r r r
计算公式 yx
合成不确定度
u( y) ua ( x) ub1 ( x) ub2 ( x)
2 2 2
色谱比较
标准曲线
ur (Cx ) ur (C0 ) ur ( Ax ) ur ( A0 )
2 2 2
y bx a
其中：
S u ( x) b
若对某量x 进行n次重复测量，算术平均值作为结果最佳值，则 s 平均值的标准偏差 (x) 为单次测量标准偏差s(x) 的 1 n 。
s( x) s( x) n
n 1
( xi x) n(n 1)
2
∵
x1 x 2 x3 x n x n
V ( x) V (
0.6745
③极差 R ：最大值减最小值。
R d (n, l )
4）协方差和相关系数
式
•显然 Vr ( xy) Vr ( x) Vr ( y) 是近似的，它是认为误差相对它的量值而言是 较小的量，而取泰勒展开的一阶近似（若用求偏导方法，亦 然）。
V ( xy) V ( x)V ( y) V ( x) E ( y) V ( y) E ( x) 2 ( xy) ( xy) 2 V ( x)V ( y) V ( x) E 2 ( y) V ( y) E 2 ( x) 2 2 ( xy) ( xy) ( xy) 2 Vr ( xy) Vr ( x)Vr ( y) Vr ( x) Vr ( y) Vr ( x) Vr ( y)
f f f y x1 x2 xn x1 x2 xn
y2 (
若
相互独立，有：
x1，x 2 xn
y2 (
f f f x1 ) 2 ( x 2 ) 2 ( xn ) 2 x1 x2 xn
f • 式中偏导数 xi 称为灵敏系数，用
有： V ( x y) V ( x) V ( y) (7) 两个独立随机变量乘积的方差为:
V ( xy) E[( xy)2] E 2 ( xy) E[ x 2 y 2 ] E 2 ( x) E 2 ( y ) {E ( x 2 ) E ( y 2 )} {E 2 ( x) E 2 ( y )}
{[V ( x) E 2 ( x)] [V ( y ) E 2 ( y )]} {E 2 ( x) E 2 ( y )} {V ( x)V ( y ) E 2 ( x)V ( y ) E 2 ( y )V ( x) E 2 ( x) E 2 ( y )} {E 2 ( x) E 2 ( y )} E 2 ( y )V ( x) E 2 ( x)V ( y ) V ( x)V ( y )
(6)两个任意随机变量之和的方差，等于它们的方差及 它们的两倍协方差之和。 V ( x y) V ( x) V ( y) 2 ( x, y)
(7)两个独立随机变量乘积的方差为:
V ( xy) V ( x)V ( y) V ( x) E2 ( y) V ( y) E2 ( x)
抗拉强度
溶液制备
相互独立随机性质分量综 独立、线性函数关系的标 2 u 2 ( y) [au( x1 )]2 [bu( x2 )] 合影响(如A、B类)的标准 y ax1 bx2 准差等于各分量（含各自 差等于各分量标准差的 2 x12 x2 系数）标准差的x‘方、和、 ur2 ( y) [2ur ( x1)]2 [ur ( 2 )]2 [ur ( x3 )] y 独立、乘除幂函数关系的相 ‘方、和、根’ 。 x3 根’ 。 对标准差等于各分量相对标 4F 2 y 2 ur ( y ) ur ( F ) [2ur (d )] 2 d 准差（含各自幂指数为系数） 1000 m 的 ‘方、和、根’ 。 p 2 2 2 u (C ) u (m) u ( p) u (v) C
同样，如果误差相对于测量值是个很小的量，真误差 可以用微分表示。 y 设函数式为： f ( x1，x 2 xn ) 微分得：
平方得： 式中：
f 2 2 f 2 2 f 2 2 ) x1 ( ) x 2 ( ) xn R x1 x2 xn f f f f R2 r12 x1 x2 2 r1n x1 xn x1 x2 x1 xn f f f f 2 r23 x2 x3 2 r2 n x2 xn x2 x3 x2 xn
n
1）方差的性质
（1）常数的方差等于零
V (c) 0
（2）随机变量与常数之和的方差，等于随机变量的方差
V ( x c ) V ( x)
（3）常数与随机变量之乘积的方差，等于该常数的平方与随机变 量的方差之乘积 V (cx) c2 V ( x) (4) 随机变量的方差，等于该随机变量平方的数学期望与该随机 变量数学期望的平方之差
ci 表示。灵敏系数表达 函数式中各输入量 xi 的不确定度 x 以多大比率贡献给输 f 出量y 。 ci
i
xi
•
ci
取其绝对值 ci 。令 i =
f xi xi
则：
• 该式为独立量方差合成定理。
2 y 12 2 2 n 2
综合影响 加减函数 乘幂函数
E ( x ) lim
xi
1
n
2 随机变量的方差
随机变量与它的数学期望的偏差的平方的数学期望，称随机变 n 2 量的方差。 ( xi )
2 V ( x) E [ x i E ( x)] lim 1
同样，有限次测量可看作无限次测量的子样，其方差依概率 收敛，是母体方差的估计值。 随机变量的方差反应了随机变量可能值与它的数学期望为中 心的离散程度，那么，在多次重复测量中，方差亦是表征测量值 与数学期望 μ 的离散程度。 因为方差与测量值量纲不同，在实际应用中，以方差的正平方 根σ（标准差，亦称均方根差）来表征测量值与‚真值‛的离散程 度。 σ 是不确定度评定的参数。
测量不确定度基础知识
一. 随机变量的几个重要特征值
随机变量的概率分布对随机变量的可能值及其出现的概率作 出全面描述，但对于测量而言，关心的只是测量结果最佳值和分 散性，即随机变量的重要特征值——数学期望和散度（方差） 1 .随机变量的数学期望
随机变量X所有可能值 xi 与其相应概率 望 E (x)。（理论真值）
ˆ 1 1 ( x x )2 p n s xx
2 1 n S ( yi y) n2 1
s
( xi x)2 xx
1
n
3）随机变量的标准偏差
方差的量纲是被测量量纲的平方，因此用方差的正平方根σ(x) 表征测量值与数学期望 μ的平均离散程度，称为标准偏差，亦即单 次测量标准偏差，也是分布的标准偏差。
（6）两个任意随机变量之和的方差，等于它们的方差及它们的两 V ( x y) V ( x) V ( y) 2 ( x, y) 倍协方差之和。
V ( x y ) E [(x y ) E ( x y )]2 E [(x y ) E ( x) E ( y )]2 E x E ( x)] [ y E ( y )]2 [ E [ x E ( x) ]2 E[ y E ( y ) ]2 2 E [ x E ( x)][y E ( y )] V ( x) V ( y ) 2 E [ x E ( x)][y E ( y )] V ( x) V ( y ) 2 ( x, y )
V ( x) E( x2) E2 ( x)
(5)两个独立随机变量之和的方差，等于它们方差之和
V ( x y ) V ( x) V ( y )
这一性质称为方差的可加性，可以推广到有限多 个随机变量，前提是相互独立。
V ( x y z) V ( x) V ( y) V ( z)
协方差定义为:
1 n ( x, y) lim xi E ( x)] [ yi E ( y )] E xi E ( x)] [ yi E ( y)] [ [ n n 1
如果两个随机变量x、y独立，则：
( x, y ) E x E ( x)] [ y E ( y )] [
两边取方差，有：

于是：
x1 x 2 x3 x n ) n 1 V ( x1 x 2 x3 x n ) 2 n 1 [V ( x1) V ( x 2) V ( x3) V ( x n )] 2 n 1 nV ( xi ) 2 n 1 V ( xi ) n
Exy E ( x) E ( y ) xE( y ) yE( x) E ( x) E ( y ) E ( x) E ( y ) E ( x) E ( y ) E ( y ) E ( x) 0
V ( xy) V ( x)V ( y) V ( x) E2 ( y) V ( y) E2 ( x)
• 由方差定义和性质，很容易得到其传播定律： 独立、线性函数关系的标准差等于各分量 （含各自系数）标准差的 ‘方、和、根’ 。 独立、乘除幂函数关系的相对标准差等于 各分量相对标准差（含各自幂指数为系数）的 ‘方、和、根’ 。