所以 Ln2 的主值就是 ln2.
因为 Ln(1) ln1 iArg(1) (2k 1)i (k为整数)
所以 Ln( 1)的主值就是 i. 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广.
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12
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例5 求下列各式的值: (1)Ln(2 3i); (2)Ln(3 3i); (3)Ln(3i).

n
i 2k
re n

n reik
k
k


2k
n
=
arg
z n
2k
k 0,1,
n1
w0 n rei0 2 w1 n rei1
22 w2 n rei2
2k wk n reik
2(n1) wn1 n rein1
z
G
o
x
5
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下页Biblioteka 结束铃结论：
从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
w n z 分成如下的n个单值函数：
wk
nz
i ( z )2k
n r(z)e n ,(k 0,1,
k
, n 1)
定义域为 Gk : 2k 2k , (k 0,1, , n 1)
w Lnz lnr i( 2k )(k E)
Lnz ln|z| iArgz 由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多 值的多值函数
规定：ln z ln r i ln z i arg z.
为对数函数Lnz的主值
于是： w Lnz ln z 2k i(k E)
§2.3 初等多值函数
1、根式函数 2 、对数函数 3 、一般幂函数与一般指数函数 4 、具有多个有限支点的情形 5 、反三角函数和反双曲函数
6 、小结与思考
1
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定义2.8(单叶函数）
设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的 两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的. 并且称区域D为f(z)的单叶性区域.
Arcsinz iLn(iz 1 z2 ),
Arctanz i Ln 1 iz . 2 1 iz
2. 反双曲函数的定义
反双曲正弦 Arsinhz Ln(z z2 1),
反双曲余弦 Arcoshz Ln(z z2 1),
反双曲正切 Artanhz 1 Ln 1 z . 2 1z
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24
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3.3 幂函数的解析性
(1) 幂函数 zn 在复平面内是单值解析的,
(zn ) nzn1 .
1
(2) 幂函数 zn 是多值函数, 具有n个分支.
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面
内是解析的,

1
zn



n
z


e
1 Lnz n

显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换.
f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
2
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1、根式函数
定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：
wnz
i.e. 根式函数 w n z 为幂函数z=wn 的反函数.
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解题步骤：
• 1. 求支点(探支)； • 2. 联结支点，求支割线； • 3. 定K（由已知条件判断是那一
支 或那一单叶区域） • 4. 求函数值W.
8
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2、对数函数
2.1. 定义 若 : ew z (z 0, ) 则称 w为z对数函数, 记为: w Lnz
说明： w=Lnz是指数函数ew=z的反函数 Lnz一般不能写成lnz
定义12 w az =ezLna(a 0,,为复常数)
称为z的一般指数函数
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21
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对于 z eLnz
由于 Lnz ln z i(argz 2k ) 是多值的,因而
z 也是多值的.
(1)当 为整数时,
z e
e Lnz [ln z i(argz2k )]
k
i
1 2
ln
2


e
4
2
k


cos
1 2
ln
2

i
sin
1 2
ln
2
其中k 0,1,2,.
且 (1 i)i 的辐角的主值为1 ln2. 2
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29
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5 、反三角函数和反双曲函数
1. 反三角函数的定义 设 z cos w, 那么称 w 为 z 的反余弦函数,
ln 2 3 iarctan 3 2k

3

ln 2
3

i
2k

6
.
(k 0, 1, 2,)
(3)Ln(3i) ln 3i iArg(3i)
ln 3 (2k 1 )i. (k 0, 1, 2,)
2
14
4
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2) 解决的办法.
限制z的辐角的变换，使其辐角的改变量argz<2
理论上的做法：
从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该
直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边
界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化
为单值函数来研究
y
z
常用的做法：
从原点起沿着负实轴将z平 面割破：
(1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
(2)
Ln z1 z2
Lnz1 Lnz2
,
(3) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支
和其它各分支处处连续, 处处可导, 且
(ln z) 1 , (Lnz) 1 .
z
z
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16
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伯努利诡辩论:
解 (1)Ln(2 3i)
ln 2 3i iArg(2 3i)

1 2
ln13

i


arctan
3 2

2k .
(k 0, 1, 2,)
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13
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(2)Ln(3 3i)
ln 3 3i iArg(3 3i)
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10
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对于每一个固定的k, 上式确定一个单值函数, 称为Lnz 的一个分支.
特殊地, 当 z x 0时, Lnz 的主值 ln z ln x, 是实变数对数函数.
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11
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例4 求 Ln2, Ln(1)以及与它们相应的主值.
解 因为 Ln2 ln 2 2ki,

1
z
1 1 n
.
n
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25
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(3) 幂函数 w z ( 除去 n 与 1 两种情况外 )
n 也是一个多值函数 ,
当为无理数或负数时 ,是无穷多值的.
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的,
( z ) z 1.
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26
• z 命题:对任意 0,有 Ln z L. nz
证明:① z 2 z 2
② Ln z 2 Lnz 2
③ Ln z Ln z Lnz Lnz
④ 2Ln z 2Lnz
⑤ Ln z Lnz
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17
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推理步骤（1）、（2）及（3） 都正确，但 （3）推（4）有误。
e (ln z iargz)2ki
e ln z , z具有单一的值 .
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22
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(2) 当 p ( p与q为互质的整数 , q 0)时,
q p[ln z i(argz2k )]
z e q p ln z i p (argz2k ) eq q
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例7 求 1 2 和 ii 的值. 解 1 2 e 2Ln1 e2ki 2
cos(2 2k) i sin(2 2k) 其中k 0,1,2,.
i i eiLni
ei

2
i
2ki

e
2 2
k

其中k 0,1,2,.

e
p q
ln
z
cos
p q
(argz

2kπ)

i
sin
p q
(argz

2kπ)
z具有 q 个值,即取 k 0,1,2,,(q 1)时相应的值.