△PBE∽△HAP
x 2ay
P A 2axPA P H A HC APH BEy PB P E BE xy2ay
.
探究型问题之“折叠问题”
将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边 上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F， 边CD折叠 后与AD边交于点H．
（1）如果P为AB边的中点，探究△ PBE的三边之比.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解x得 3a,所2以 ax5a
4
4
可得△ PBE的三边之比3:4:5.
2ax a
x 2ax
aa
M 2a
S梯形DCEF 3
S梯形BAEF 5
.
a5 a N 4
探究型问题之“折叠问题”
将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边 上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F， 边CD折叠 后与AD边交于点H．(3)若P为AB边上任意一点，还 能求得△ PBE的三边之比吗?
解得y4a2 x2 .不能求得三边2a之x比 4a
.
探究型问题之“折叠问题”
将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边
上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F， 边CD折叠
后与AD边交于点H．
（2）如果P为AB边的中点，还有哪些结论呢?
△PBE∽△HAP∽△HQF
1a
4
可求出梯形DCEF的面积:
由△CME∽△CBP 由△FNE≌ △CBP
化？说明理由．
AM
G
连接BM交EF于Q,
过F作FH⊥AB于
H,∵EF⊥BM , ∴
∠ABM=∠EFH,∴△
Q
EFH∽ΔMBA
H
B ECF EH H F1
AM AMAB2
∴
BE CF AM
的值不发
生变化.
延长PM交EA延长线于G，则△PDM≌△GAM，
△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP.
.
AP
D
探究型问题之“折叠问题”
E
操作:如图，将矩形ABCD沿PE折叠B ，使点D落F在 C
边BC上的F处，当点F在BC边上移动时，折痕两端
点也随之移动，若限定点P,E分别在AD,CD边上移
动，且AB=3,AD=5，则F点可移动的最大2距离为
____A___． P
D
（P）
5
3
3
5
B
F3
C （E）
.
4
E A
G M
N
B
F
O'
.
探究型问题之“折叠问题”
变是式半3径：O已A知上扇一形点A，OFB是的︵A半B 径上为一点6，．圆将心扇角形为A9O0B°沿，EEF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G． （3）若 G 是 OB 中点，求 OE 和折痕 EF 的长；
O
OE 15
4
E
M
G
4
1
探究型问题之“折叠问题”
☞透过现象看本质:
A
A
D 折
E叠
实质
轴 对 称F
D
B
FC
E
轴对称性质：
由折叠可得： 1.△AFE≌△ADE
2.AE是DF的中垂 线
1.图形的全等性：折叠前后的图形是全等形.
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
.
探究型问题之“折叠问题”
例1:已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA
所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是
边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反y比例k 函(k 数 0)
的图象与AC边交于点E．
x
请探索：是否存在这样的点
F，使得将△CEF沿EF对折 后，C把点条恰件好集落中在到O一BR上t？△中， 若存在根，据求勾出股点定F理的得坐方标程；。
若不存在，请说明理由．
k
（ 3 ,3）
4 k 3 3 k 4
k (4, 4 )
寻找相似三角形，根 据相似比得方程。
MN
.
F (4, 21 ) 32
探究型问题之“折叠问题”
例2：如图1，在长方形纸片ABCD中A ，BmAD ，其中 m≥1，将它沿EF折叠
（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落
(E)
(F)
BA
B (G)
F
变式1：若沿EF向上翻折，折叠后 的弧恰好过点O，则E点移. 动的最
大距离是多少?
O ' 2 33
O
探究型问题之“折叠问题”
变式2：已知扇形 AOB 的半︵径为 6，圆心角为 90°E ， E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 A AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G．若 OE＝4，求折痕 EF 的长；
OE 4 5
k 1
H
.
O
探究型问题之“折叠问题”
例E 是4：半已径知O扇A形上A一O点B，的F半是径A︵为B
6，圆心角为 90°，E 上一点．将扇形 A
AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径
OB 相切于点 G．
求：点 E 可移动的最大距离是多少？ 3
O(G) O
G B
F
E A(O )'
O 22 6
G B
F
E A
G M
N
B
F
.
O'
探究型问题之“折叠问题”
变是式半3径：O已A知上扇一形点A，OFB是的A半︵B 径上为一点6，．圆将心扇角形为A9O0B°沿，EEF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G． 若 G 是 OB 中点，求 OE 和折痕 EF 的长；
O
OE 15
.
探究型问题之“折叠问题” 例3：如图，已知直线l：y=kx+2，k＜0 ，与y轴交于点 A，与x轴交于点B，以OA为直径的⊙P交AB于另一点D， 把弧AD沿直线AB翻转后与OA交于点E。 （1）当k=－2时，求OE的长 （2）是否存在实数k，k＜0 ，使沿直线AB把弧AD翻转 后所得的弧与OA相切？若存在，请求出此时k的值，若 不存在，请说明理由。
EF3 53 11 42
A
N
B
H
F
O'
.
探究型问题之“折叠问题”
将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边 上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F， 边CD折叠 后与AD边交于点H．
（1）如果P为AB边的中点，探究△ PBE的三边之比. （2）如果P为AB边的中点，还有哪些结论呢? (3)若P为AB边上任意一点，还能求得△ PBE的三边 之比吗? (4)若P为AB边上任意一点，四边 形PEFQ的面积为S,PB为x,试探究 S与x的函数关系,关求S的最小值.
在点N处，MN与CD相交于点P，连接AMEP.设n
AD
，其中0＜n≤1．
5
BE
(1)如图2，当n (2)如图3，当 n
（（11 即即M M点为与ADD的点中重点合）），，m m的=值2时发，生则变化A E时= ，求证3：；
EP=AE+DP；2
(3)如图1，当m （2AB=2AD），n 的值发生变化时， B E C的F 值是否发生变