转动中心的偏离, 相当于使齿轮造成几何偏心。产生装
置跳动误差的因素有齿轮孔与轴之间的间隙 ∃e1、齿
轮安装处轴颈的径向跳动 ∃e2 及滚珠轴承动环的偏心
∃e3, 所引起的传动误差可用下式计算:
3
∑ ∃E″= ∃eisinΗi
(2)
i= 1
式中 ∃ E ″—— 装置跳动误差产生的传动误差;
∃ei ——装置的各跳动量, 均服从正态分布;
1 2
∃ f′isin
(zΗ)
(1)
式中 ∃E′——齿轮固有位置误差, Η——齿轮相位角,
z —— 齿轮的齿数。
其中 1 2
(∃ F′i-
∃f′i) sinΗ和
1 2
∃ f′isin
(zΗ)
分别表示
齿轮固有位置误差中的大、小周期部分, 这两部分误差
分别由两个独立的随机变量构成,
其中
1 2
(∃ F′i-
311 各随机变量的抽样公式
对于误差项 1 2
(∃ F′i-
∃ f′i) 和
1 2
∃f′i, 因服从瑞利
分布, 其概率分布函数为:
F (x) = 1- exp -
1 2
(X
Γ) 2
(x> 0)
那么, 由直接抽样方法可知:
R = 1- exp -
1 2
(X
Γ) 2
为在[ 0, 1 ]区间上服从均匀分布的随机变量。 由于 R
和 1- R 具有相同的概率分布, 那么,
X= Γ - 2lnR
(6)
即为服从瑞利分布的随机变量。
对于装置误差中的各跳动量 ∃ei ( i= 1, 2, 3) , 由于 均服从正态分布, 其概率密度函数为:
f (x) = 1 exp [ 2ΠΡ
由变换抽样法可得[ 2 ]:
1 2
(
x
Ρ
Λ)
2
]
(
-
∞≤x≤∞)
在齿轮传动系统中, 虽然影响系统传动精度的各 项误差可以认为是相互独立的, 但具有不同的概率分 布, 而常用的统计计算法在计算齿轮的传动误差时, 却 把它们当作相互独立且均为正态分布的随机变量来处 理, 与最大误差法相比, 虽然科学性有所提高, 但计算 结果还是比较粗糙, 不能准确估计齿轮系统传动误差 的大小, 往往造成齿轮精度控制过严。 因此, 有必要运 用蒙特卡洛模拟方法, 在计算机上按齿轮传动系统各 项误差的概率分布函数产生随机数, 根据各项误差对 系统传动精度的影响关系, 对齿轮系统的传动误差进
∃ f′i)
和
1 2
∃f′i 具有瑞利分布的形式,
而
Η则为在区间 [ 0,
2Π]上服从均匀分布的随机变量。
∃ Η=
∃ Ηf1 i2
+
∃ Ηf2
式中 ∃ Η—— 系统的角传动误差;
∃Ηf1、∃Ηf2 ——齿轮副 1、2 的角传动误差;
i2 ——轴 II 到 III 的传动比。
一般情况下, 若以轴 N 为读数齿轮轴时, 则齿轮
M on te-Carlo S im ula tion Ana lys is of Tran sm iss ion Error for Gear D r ive System s
Chen W enhua Zhu H a ifeng Fan X iaoyan
(S ta te K ey L abora tory of F lu id P ow er T ransm ission and C on trol, Z hej iang U n i. , H ang z hou 310027, C h ina)
系统的传动误差为:
∃ Η=
∃ Ηf1 i2
+
∃ Ηf2 i3
+
…+
∃ ΗfN- 1 i + N
∃ ΗfN
(5)
上式表明, 齿轮系统的传动误差为各齿轮副的传动误
差除以该齿轮副到读数齿轮轴的传动比的代数和。
21112 装置误差 装置的跳动误差是产生齿轮传动误差的另一原
3 齿轮系统传动误差的蒙特卡洛模拟
因。 装置的跳动误差来源于齿轮实际转动中心对理论
r1、r2 ——齿轮分度圆半径。
蒙特卡洛模拟, 亦称模拟抽样或统计试验, 其实质 是按一定的概率分布产生随机数的方法来模拟可能出
现的随机现象。
用蒙特卡洛模拟法进行齿轮系统传动误差的统计
分析时, 首先必须确定齿轮系统中各项误差的概率分 布规律和分布参数, 并求出各随机变量的抽样公式; 然 后, 利用计算机产生的随机数由各抽样公式求出各项 误差的抽样值; 最后, 按照齿轮系统传动误差的计算方 法求出系统的传动误差。
312 各项误差分布参数的确定
对于服从瑞利分布的随机变量 1 2
(∃ F′i-
∃ f′i) , 其
取值应在其公差 1 2
(F ′i-
f′i) 范围内随机变化, 当取置
信度为 9917% 时, 应有:
F
1 2
(F ′i-
f′i)
= 1-
exp
-
1 2
(F ′i- f′i) 2 Γ1
2
= 01997
则其分布参数的取值应为:
factu re.
Key words P late2m ak ing m ach ine Gear drive system T ran sm ission erro r
行统计模拟, 在一定的置信度下, 确定齿轮系统传动误
1 引 言
差的大小, 为齿轮系统传动精度的分析和设计提供一
定的理论与方法。
Abstract B ased on con sidering each erro r w ith it s p robab ility dist ribu t ion law and po in t ing ou t the sho rtcom ings
of cu rren t theo ries and m ethods of t ran sm ission erro r analysis fo r gear drive system s, pu t fo rw ard a M on te2Carlo
∃ Η1, ∃ Η2, …, ∃ ΗM ( 6) 以这M 个抽样值 ∃Η的经验分布函数的分位 数为端点作区间 [ ∃ Η[ (1- , Χ 2)M ] ∃ Η[ (Χ 2)M ] ], 即可求得齿轮 系统传动误差小于 m ax{ ∃ Η[ (1- Χ 2)M ] , ∃ Η[ (Χ 2)M ] }的置 信度为 Χ。
对于随机变量
1 2
第 25 卷第 4 期 仪 器 仪 表 学 报 2004 年 8 月
齿轮系统传动误差的蒙特卡洛模拟分析Ξ
陈文华 朱海峰 樊晓燕
(浙江大学流体传动及控制国家重点实验室 杭州 310027)
摘要 针对齿轮系统中各项误差具有不同概率分布规律的特点, 在指出现有理论和方法存在不足的基础上, 提出了齿轮系统 传动误差的蒙特卡洛模拟分析方法, 为准确估计齿轮系统的传动精度提供了理论手段。对圆网制网机传动误差的分析结果表 明, 所提出的蒙特卡洛模拟方法不仅可以求出齿轮系统传动误差的分布情况, 而且可以避免不必要的精度浪费, 降低齿轮的 制造成本。 关键词 制网机 齿轮系统 传动误差
sim u lat ion analysis m ethod of t ran sm ission erro r, w h ich p rovides a theo ret ical m ean s fo r accu rately est im at ing
the t ran sm ission p recision fo r gear drive system s. T he resu lt, w h ich is go t ten from ro tary screen p late2m ak ing
436
仪 器 仪 表 学 报 第 2 5 卷
和齿距累积误差 ∃Fp 这三项单项误差的组合来评定, 也可用切向综合误差 ∃F′i 和一齿切向综合误差 ∃f′i 这二项齿轮综合误差的组合来评定。 由于综合误差是
21212 齿轮系统传动误差 齿轮系统的传动误差是将各齿轮副的传动误差叠
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第 4 期 齿轮系统传动误差的蒙源自卡洛模拟分析437X = Λ+ Ρ - 2lnR 1 sin (2ΠR 2)
Ξ 本文于 2002 年 10 月收到, 系国家自然科学基金资助项目 (59975081)。 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
2 齿轮系统传动误差的理论分析
211 单个齿轮的传动误差 单个齿轮的传动误差, 是由齿轮固有位置误差和
装置误差引起的。 21111 齿轮固有位置误差
齿轮固有位置误差是由齿轮的几何偏心、运动偏 心、齿距极限误差和齿形误差产生的, 占齿轮传动误差 的 70% 以上, 它可用齿形误差 ∃ff、齿距极限误差 ∃fpt
加到读数齿轮上而得到的, 以图 1 所示的齿轮传动系
一组动态精度指标, 比单项精度指标能更准确地刻画 齿轮的传动误差, 因此, 一般采用综合误差组来评定齿
统为例, 若取轴 III 为读数齿轮轴, 则系统的传动误差 计算式为:
轮的固有位置误差, 其计算公式为[1]:
∃ E ′=
1 2
(∃ F′i-
∃f′i) sinΗ+
m ach ine’s gear t ran sm ission p recision analysis, reveals that the m ethod no t on ly cou ld get the dist ribu t ion of gear