第八章 解析几何第41讲 直线的斜率与方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·开封模拟)过点A (-1,-3),斜率是直线y =3x 的斜率的-14的直线方程为( )A. 3x +4y +15=0B. 3x +4y +6=0C. 3x +y +6=0D. 3x -4y +10=02. 直线2x cos α-y -3=0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6,π3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. ⎣⎡⎦⎤π6,π3 B. ⎣⎡⎦⎤π4,π3 C. ⎣⎡⎦⎤π4,π2 D. ⎣⎡⎦⎤π4,2π33. (2019·湖北四地七校联考)已知函数f (x )=a sin x -b cos x (a ≠0,b ≠0),若f ⎝⎛⎭⎫π4-x =f ⎝⎛⎭⎫π4+x ,则直线ax -by +c =0的倾斜角为( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π44. 如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax +By +C =0不通过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2019·张家口模拟)若直线mx +ny +3=0在y 轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线3 x -y =33 的倾斜角的2倍,则( )A. m =-3 ,n =1B. m =-3 ,n =-3C. m =3 ,n =-3D. m =3 ,n =1二、 解答题6. 求过点A (1,3),斜率是直线y =-4x 的斜率的13的直线方程.7. 求适合下列条件的直线方程.(1) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;(2) 求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程.B巩固提升一、填空题1. 直线x+3y+1=0的倾斜角是________.2. 过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.3. 已知直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点________.4. (2019·江苏姜堰中学)已知△ABC的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________.二、解答题5. (2019·启东检测)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(1) 求证:不论m为何实数,直线l过一定点M;(2) 过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程.6. 如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=12x上时,求直线AB的方程.(第6题)第42讲两条直线的位置关系A应知应会一、选择题1. 若直线2x+3y-1=0与直线4x+my+11=0平行,则m的值为()A. 83 B. -83 C. -6 D. 62. 若直线l过点(3,1)且与直线2x-y-2=0平行,则直线l的方程为()A. 2x-y-5=0B. 2x-y+1=0C. x+2y-7=0D. x+2y-5=03. (2019·石家庄模拟)若直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k 的值为()A. -24B. 24C. 6D. ±64. 若直线a1x+b1y=2和a2x+b2y=2交于点P(3,2),则过点A(a1,b1),B(a2,b2)的直线方程是()A. 2x+3y-2=0B. 3x+2y-2=0C. 3x+2y+2=0D. 2x+3y+2=05. 已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则“m =-2”是“l1∥l2”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件二、解答题6. 已知三角形三边所在的直线方程分别为2x-y+4=0,x+y-7=0,2x-7y-14=0,求边2x-7y-14=0上的高所在的直线方程.7. 已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),求顶点A的坐标.B 巩固提升一、 填空题1. 若三条直线y =2x ,x +y =3,mx +2y +5=0相交于同一点,则m 的值为________.2. 如果直线ax +2y +3a =0与直线3x +(a -1)y =a -7平行,则a =________.3. 已知直线l 1:ax +y -6=0与l 2:x +(a -2)y +a -1=0相交于点P ,若l 1⊥l 2,则a =________,此时点P 的坐标为________.4. (2019·南通中学)已知直线l 的倾斜角为3π4,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,-1),且l 1与l 垂直,直线l 2:2x +by +1=0与直线l 1平行,则a +b =________.二、 解答题5. (2019·海门实验中学)已知两直线l 1:x +y sin α-1=0和l 2:2x ·sin α+y +1=0,求α的值,使得:(1) l 1∥l 2;(2) l 1⊥l 2.6. 已知点P (a ,b )在x ,y 轴上的射影分别为点A ,B .(1) 求直线AB 的方程;(2) 求过点P 且垂直于AB 的直线m 的方程.第43讲 距离公式与对称问题A 应知应会一、 选择题1. 点A (2,5)到直线l :x -2y +3=0的距离为( )A. 25B. 55C. 5D. 2552. 两条平行直线3x +4y -12=0与ax +8y +11=0之间的距离为( )A. 235B. 2310C. 7D. 723. 已知坐标原点关于直线l 1:x -y +1=0的对称点为A ,设直线l 2经过点A ,则当点B (2,-1)到直线l 2的距离最大时,直线l 2的方程为( )A. 2x +3y +5=0B. 3x -2y +5=0C. 3x +2y +5=0D. 2x -3y +5=04. 已知动直线l 0:ax +by +c -2=0(a >0,c >0)恒过点P (1,m ),且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,则12a +2c的最小值为( ) A. 92 B. 94C. 1D. 9 5. (多选)在平面直角坐标系中,定义d (P ,Q )=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|为两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)之间的“折线距离”,则下列命题中为真命题的是( )A. 若点A (-1,3),B (1,0),则有d (A ,B )=5B. 到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆C. 若点C 在线段AB 上,则有d (A ,C )+d (C ,B )=d (A ,B )D. 到M (-1,0),N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x =0二、 解答题6. (2019·江苏启东中学)已知直线l :y =12x -1. (1) 求点P (3,4)关于l 对称的点Q ;(2) 求l 关于点(2,3)对称的直线方程.7. 已知直线l :(2a +b )x +(a +b )y +a -b =0及点P (3,4).(1) 证明:直线l 过某定点,并求该定点的坐标;(2) 当点P 到直线l 的距离最大时,求直线l 的方程.B 巩固提升一、 填空题1. 已知点(a ,2)(a >0)到直线l :x -y +3=0的距离为1,则a =________.2. 直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程为________.3. 已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是________.4. “c =5”是“点(2,1)到直线3x +4y +c =0的距离为3”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)二、 解答题5. 已知直线l 经过直线l 1:2x +y -5=0与l 2:x -2y =0的交点.(1) 若点A (5,0)到l 的距离为3,求l 的方程;(2) 求点A (5,0)到l 的距离的最大值.6. 已知三条直线l 1:2x -y +a =0(a >0);l 2:-4x +2y +1=0;l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2间的距离是7510. (1) 求a 的值;(2) 能否找到一点P ,使P 同时满足下列三个条件:①点P 在第一象限;②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12;③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2 ∶5 ?若能,求点P 的坐标;若不能,说明理由.第44讲 圆的方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·太原模拟)若两条直线y =x +2a ,y =2x +a 的交点P 在圆(x -1)2+(y -1)2=4的内部,则实数a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫-15,1B. ⎝⎛⎭⎫-∞,-15 ∪(1,+∞) C. ⎣⎡⎭⎫-15,1 D. ⎝⎛⎦⎤-∞,-15 ∪[1,+∞) 2. (2019·长沙模拟)已知三点A (1,0),B (0,3 ),C (2,3 ),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53B. 213C. 253D. 433. 方程|x |-1=1-(y -1)2 所表示的曲线是( )A. 一个圆B. 两个圆C. 半个圆D. 两个半圆4. (2019·邯郸一模)若x ,y 满足约束条件(x -1)2+(y -1)2≤1,则x 2+y 2的最小值为( )A. 2 -1B. 3-22C. 2 +1D. 3+225. (2019·黄冈调研)若长度为定值4的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动,P (x ,y )为△OAB 的外心轨迹上一点,则x +y 的最大值为( )A. 1B. 4C. 2D. 22二、 解答题6. 已知以点P 为圆心的圆经过点A (-1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且CD =410 .(1) 求直线CD 的方程;(2) 求圆P 的方程.7. 已知圆经过点A (2,-3)和B (-2,-5).(1) 若圆的面积最小,求圆的方程;(2) 若圆心在直线x -2y -3=0上,求圆的方程.B巩固提升一、填空题1. 若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a=________.2. 已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,6)在圆C内,则m的取值范围为________.3. (2019·南师附中)经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S=________.4. 已知点A(-2,0),B(0,2).若点M是圆x2+y2-2x+2y=0上的动点,则△ABM面积的最小值为________.二、解答题5. 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1) 求线段AP中点的轨迹方程;(2) 若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.6. 如图,已知圆O的直径AB=4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB,点P 是圆O上异于A,B的任意一点,直线P A,PB分别交l于M,N两点.(1) 若∠P AB=30°,求以MN为直径的圆的方程;(2) 当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.(第6题)第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系课时1直线与圆相关问题A应知应会一、选择题1. 以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为()A. (x-2)2+(y+1)2=3B. (x+2)2+(y-1)2=3C. (x-2)2+(y+1)2=9D. (x+2)2+(y-1)2=92. (2019·湖南十四校二联)已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O 为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为()A. 6或-6B. 5或-5C. 6D. 53. “a=3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知圆C:x2+y2=4,若点P(x0,y0)在圆C外,则直线l:x0x+y0y=4与圆C的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定5. (多选)(2019·合肥模拟)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=23,则直线l的方程为()A. 3x+4y-12=0B. 4x-3y+9=0C. x=0D. 4x+3y+9=0二、解答题6. (2019·启东模拟)已知直线l:kx-y+k-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B 分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=43,求|CD|.7. 已知圆C经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.(1) 求圆C的方程;(2) 已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.B 巩固提升一、 填空题1. (2019·衡水调研)过M (-3,1),N (0,a )两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆x 2+y 2=1存在公共点,则实数a 的取值范围为________.2. (2019·扬州期末)已知直线l :y =-x +4与圆C :(x -2)2+(y -1)2=1相交于P ,Q 两点,则CP → ·CQ → =________.3. 已知过点P ⎝⎛⎭⎫32,32 的直线l 与圆C :(x -1)2+y 2=4交于A ,B 两点,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为________,∠ACB =________.4. (2019·启东考前卷)如图,已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |=2,则圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.(第4题)二、 解答题5. 已知圆C :x 2+y 2-4x -6y +12=0,点A (3,5).(1) 求过点A 的圆的切线方程;(2) 点O 是坐标原点,连接OA ,OC ,求△AOC 的面积S .6. 已知圆C 的方程为x 2+(y -4)2=4,点O 是坐标原点,直线l :y =kx 与圆C 交于M ,N 两点.(1) 求k 的取值范围;(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧?若能,求出直线l 的方程;若不能,请说明理由.课时2圆与圆的位置关系A应知应会一、选择题1. 圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为()A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离2. 已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是()A. {1,-1}B. {3,-3}C. {1,-1,3,-3}D. {5,-5,3,-3}3. 若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a,b应满足的关系式是()A. a2-2a-2b-3=0B. a2+2a+2b+5=0C. a2+2b2+2a+2b+1=0D. 3a2+2b2+2a+2b+1=04. 两圆x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则r等于()A. 5B. 4C. 3D. 225. 已知A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4},则A∩B等于()A. ∅B. {(0,0)}C. {(5,5)}D. {(0,0),(5,5)}二、解答题6. 已知圆A:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆B平分圆A的周长,且圆B的圆心在直线l:y =2x上,求满足上述条件的半径最小的圆B的方程.7. 圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心坐标为(2,1).(1) 若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;(2) 若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|=22,求圆O2的方程.B 巩固提升一、 填空题1. 若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x -8y +m =0外切,则m =________.2. 已知线段AB 的长为2,动点C 满足CA → ·CB →=λ(λ<0),且点C 总不在以点B 为圆心,12为半径的圆内,则负数λ的最大值是________.3. (2019·江苏天一中学)若圆O :x 2+y 2=5与圆O 1:(x -m )2+y 2=20(m ∈R)相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是________.4. 如图,在平面四边形ABCD 中,AB =4,AD =2,∠DAB =60°,AC =3BC ,则边CD 长的最小值为________.(第4题)二、 解答题 5. (2019·江苏准阴中学)已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y =0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1) 求M 的轨迹方程;(2) 当|OP |=|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积.6. (2019·泰州中学)在平面直角坐标系xOy 中,过点P (0,1)且互相垂直的两条直线分別与圆O :x 2+y 2=4交于点A ,B ,与圆M :(x -2)2+(y -1)2=1交于点C ,D .(1) 若AB =327 ,求CD 的长;(2) 若CD 中点为E ,求△ABE 面积的取值范围.(第6题)第46讲 椭圆A 应知应会一、 选择题1. 过点A (3,-2)且与椭圆x 29 +y 24 =1有相同焦点的椭圆的方程为( )A. x 215 +y 210 =1B. x 225 +y 220 =1 C. x 210 +y 215 =1 D. x 220 +y 215 =12. 设F 1,F 2分别是椭圆x 225 +y 216 =1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM |=3,则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 53. (多选)已知P 为椭圆x 25 +y 24 =1上一点,以点P 及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积为S ,则( )A. 若S =1,则满足条件的点P 有4个B. 若S =2,则满足条件的点P 有2个C. 若S =5 ,则满足条件的点P 有2个D. 若S =12 ,则满足条件的点P 有4个4. 若中心为(0,0),一个焦点为F (0,52 )的椭圆,截直线y =3x -2所得弦中点的横坐标为12,则该椭圆的方程是( ) A. 2x 275 +2y 225 =1 B. x 275 +y 225 =1C. x 225 +y 275 =1D. 2x 225 +2y 275 =15. 已知椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ,B ,左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切,且该圆与y 轴的正半轴交于点C ,过点C 的直线交椭圆于M ,N 两点.若四边形F AMN 是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )A. 35B. 12C. 23D. 34二、 解答题6 . 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.(1) 与椭圆x 24 +y 23=1有相同的离心率且经过点(2,-3 );(2) 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P 到两焦点的距离分别为5,3.7. (2019·厦门期中)如图,已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ,B ,右焦点为F ,一条准线方程是x =-4,短轴一端点与两焦点构成等边三角形,点P ,Q 为椭圆C上异于A ,B 的两点,点R 为PQ 的中点.(1) 求椭圆C 的标准方程;(2) 直线PB 交直线x =-2于点M ,记直线P A 的斜率为k P A ,直线FM 的斜率为k FM ,求证:k FM ·k P A 为定值.(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为32,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为________.2. 已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2 +y 2=1(a >1)的左、右焦点,点F 2关于直线y =x 的对称点Q 在椭圆上,则长轴长为________;若P 是椭圆上的一点,且PF 1·PF 2=43 ,则S △F 1PF 2=________.3. (2019·江苏海门中学)设F 1,F 2分别为椭圆x 24 +y 2=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,且|PF 1+PF 2|=23 ,则∠F 1PF 2=________.4. (2019·淮北一模)在平面直角坐标系xOy 中,点P 是椭圆C :x 2a 2 +y 24 =1(a >0)上一点,F为椭圆C 的右焦点,直线FP 与圆O :x 2+y 2=1相切于点Q ,若Q 恰为线段FP 的中点,则a =________.二、 解答题5. (2019·南昌一模)已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)经过点M (0,-1),长轴长是短轴长的2倍.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 设直线l 经过点N (2,1)且与椭圆C 相交于A ,B 两点(异于点M ),记直线MA 的斜率为k 1,直线MB 的斜率为k 2,求证:k 1+k 2为定值.6. (2019·揭阳二模)已知椭圆C :x 2a 2 +y 2=1(a >1)的上顶点为A ,右焦点为F ,直线AF 与圆M :(x -3)2+(y -1)2=3相切.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,且AP → ·AQ →=0,试探究:直线l 是否过定点?若是,求该定点的坐标;若不是,请说明理由.第47讲 双曲线 A 应知应会一、 选择题1. (多选)下列各条件下求得的双曲线标准方程,正确的是( )A. 与x 轴交于两点A (-2,0),B (2,0),c =3,则方程为x 24 -y 25 =1B. a =25 ,过点A (2,-5),焦点在y 轴上,则方程为y 220 -x 216=1C. 与椭圆x 227 +y 236 =1有相同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4,则方程为y 24 -x 25=1D. 过P 1⎝⎛⎭⎫-2,352 ,P 2⎝⎛⎭⎫473,4 两点,则方程是y 29 -x 216 =12. 若双曲线E :x 29 -y 216 =1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 33. 已知双曲线x 2a 2 -y 2b 2 =1(a >0,b >0)的一个焦点为F (-2,0),且双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的方程为( )A. x 23 -y 2=1B. x 26 -y 22=1C. x 23 -y 2=1或x 2-y 23 =1 D. x 2-y 23 =1或x 26 -y 22=1 4. (2019·济宁期末)已知抛物线C 1:y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为E ,线段EF 被双曲线C 2:x 2a 2 -y 2b 2 =1(a >0,b >0)的顶点三等分,且两曲线C 1,C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ,则双曲线C 2的离心率为( )A. 2B.322 C. 113 D. 2225. (2019·秦皇岛模拟)已知双曲线x 2a 2 -y 2b 2 =1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y=2x +10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A. x 25 -y 220 =1B. x 220 -y 25 =1C. 3x 225 -3y 2100 =1D. 3x 2100 -3y 225 =1二、 解答题6. 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1) 虚轴长为12,离心率为54 ;(2) 焦距为26,且经过点M (0,12);(3) 经过两点P (-3,27 )和Q (-62 ,-7).7. 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1) 经过点P ⎝⎛⎭⎫3,154 ,Q ⎝⎛⎭⎫-163,5 ; (2) c =6 ,经过点(-5,2),焦点在x 轴上.B 巩固提升一、 填空题1. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2-y 2b2 =1(b >0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是________.2. (2019·晋中二模)过双曲线y 2a 2 -x 2b 2 =1(a >0,b >0)的下焦点F 1作y 轴的垂线,交双曲线于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点F 2,则双曲线的离心率为________.3. 已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22 -y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1·MF 2<0,则y 0的取值范围是________.4. (2019·马鞍山一检)已知双曲线C :x 24 -y 25 =1的焦点为F 1,F 2,P 为双曲线C 上的一点,且△F 1PF 2的内切圆半径为1,则△F 1PF 2的面积为________.二、 解答题5. 已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦点. (1) 求双曲线的标准方程;(2) 若点M 在双曲线上,F 1,F 2为左、右焦点,且|MF 1|+|MF 2|=63 ,试判断△MF 1F 2的形状.6. 已知双曲线y 2a 2 -x 2b 2 =1(a >0,b >0)的两个焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线方程为2x +y=0,且焦点到这条渐近线的距离为1.(1) 求此双曲线的方程;(2) 若点M ⎝⎛⎭⎫55,m 在双曲线上,求证:点M 在以F 1F 2为直径的圆上.第48讲 抛物线A 应知应会一、 选择题 1. (2019·南昌一模)已知抛物线方程为x 2=-2y ,则其准线方程为( ) A. y =-1 B. y =1 C. y =12 D. y =-122. 过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6,则|PQ |等于( )A. 9B. 8C. 7D. 6 3. (2019·石家庄检测)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点F 和抛物线上一点M (2,22 )的直线l 交抛物线于另一点N ,则|NF |∶|FM |等于( )A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶3 4. (2019·武汉调研)已知A ,B 为抛物线y 2=4x 上两点,O 为坐标原点,且OA ⊥OB ,则|AB |的最小值为( )A. 42B. 22C. 8D. 825. (多选)设抛物线y 2=2px (p >0)上有A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)三点,F 是它的焦点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则( )A. x 1,x 2,x 3成等差数列B. x 1,x 2,x 3成等比数列C. y 21 ,y 22 ,y 23 成等差数列D. y 21 ,y 22 ,y 23 成等比数列 二、 解答题6. 已知抛物线y 2=2px (p >0),过点C (-2,0)的直线l 交抛物线于A ,B 两点,坐标原点为O ,且OA → ·OB → =12.(1) 求抛物线的方程;(2) 当以AB 为直径的圆与y 轴相切时,求直线l 的方程.7. 一种高脚酒杯的轴截面近似一条抛物线如图所示,已知杯口宽4 cm,杯深8 cm.若将一些大小不等的玻璃球放入酒杯中,试问:半径为多大时,玻璃球触及酒杯底部?(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 若直线l 过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F (1,0),且与抛物线C 交于A ,B 两点,则p =________,1AF +1BF=________.2. (2019·河南六市二联)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,其准线为直线l ,过点M (5,25 )作直线l 的垂线,垂足为H ,则∠FMH 的平分线所在直线的斜率是________.3. (2019·福州一模)已知直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ,且与抛物线交于A ,B 两点,若AF → =5FB →,则直线l 的斜率为________.4. (2019·深圳二调)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点P 到焦点F 和到点(2,0)的距离之和的最小值为3,过点F 作斜率为3 的直线l 与抛物线C 及其准线从上到下依次交于点A ,B ,M ,则|AF ||BF | +|AF ||MF |=________.二、 解答题 5. (2019·唐山摸底)斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线y =x 2交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,O 为坐标原点.(1) 当x 1+x 2=2时,求k ;(2) 若OB ⊥l ,且|AB |=3|OB |,求|AB |.6. (2019·合肥二模)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)上一点M (m ,9)到其焦点F 的距离为10.(1) 求抛物线C 的方程;(2) 设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,且抛物线在A ,B 两点处的切线分别交x 轴于P ,Q 两点,求|AP |·|BQ |的取值范围.第49讲 解析几何的综合问题课时1 解析几何中的最值、范围问题A 应知应会一、 选择题1. 设A ,B 为椭圆C :x 23 +y 2m=1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB =120°,则m 的取值范围是( )A. (0,1]∪[9,+∞)B. (0,3 ]∪[9,+∞)C. (0,1]∪[4,+∞)D. (0,3 ]∪[4,+∞)2. (2019·襄阳调研)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 -y 2b 2 =1(a >0,b >0)的左、右焦点,若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ,则离心率e 的取值范围是( ) A. [2 ,+∞) B. (2 ,+∞) C. (1,2 ) D. (1,2 ]3. (多选)已知O 是坐标原点,A ,B 是抛物线y =x 2上不同于O 的两点,OA ⊥OB ,则下列结论中正确的是( )A. OA ·OB ≥2B. OA +OB ≥22C. 直线AB 过抛物线y =x 2的焦点D. O 到直线AB 的距离小于等于1二、 解答题4. (2019·安庆二模)已知椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的离心率为22,且过点(2,2 ). (1) 求椭圆C 的标准方程;(2) 设A ,B 为椭圆C 的左、右顶点,过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ,N 两点,分别记△ABM ,△ABN 的面积为S 1,S 2,求|S 1-S 2|的最大值.5. (2019·荆州二模)已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为13,点P 在椭圆C 上,且△PF 1F 2的面积的最大值为22 . (1) 求椭圆C 的方程;(2) 已知直线l :y =kx +2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,若在x 轴上存在点G ,使得|GM |=|GN |,求点G 的横坐标的取值范围.B 巩固提升一、 填空题1. (2017·全国卷Ⅱ)若a >1,则双曲线x 2a 2 -y 2=1的离心率的取值范围是________. 2. 已知线段|AB |=4,|P A |+|PB |=6,M 是AB 的中点,当P 点在同一平面内运动时,PM 的长度的最小值为________.3. 已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 -y 2b 2 =1(a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P 满足PF 1·PF 2=-a 2,则双曲线离心率的取值范围为________.二、 解答题4. (2019·新乡三模)已知抛物线E :y 2=2px (p >0)的准线与x 轴交于点K ,过点K 作圆C :(x -5)2+y 2=9的两条切线,切点为M ,N ,|MN |=33 .(1) 求抛物线E 的方程;(2) 若直线AB 是过定点Q (2,0)的一条直线,且与抛物线E 交于A ,B 两点,过定点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G ,D 两点,求四边形AGBD 面积的最小值.5. (2019·江西质检)已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的离心率e =22,过点A (-m ,0),B (m ,0)(m >0)分别作两平行直线l 1,l 2,l 1与椭圆C 相交于M ,N 两点,l 2与椭圆C 相交于P ,Q两点,且当直线l 2过右焦点和上顶点时,四边形MNQP 的面积为163. (1) 求椭圆C 的标准方程;(2) 若四边形MNQP 是菱形,求正数m 的取值范围.课时2 解析几何中的定点、定值问题A 应知应会一、 选择题1. (2019·武汉模拟)曲线x 225 +y 29 =1与曲线x 225-k +y 29-k=1(k <9)的( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等2. 已知直线l 与抛物线C :y 2=2x 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若直线OA ,OB 的斜率k 1,k 2满足k 1k 2=23,则l 一定过点( ) A. (-3,0) B. (3,0) C. (-1,3) D. (-2,0)3. (2019·德阳模拟)设P 为椭圆C :x 249 +y 224=1上一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,且△PF 1F 2的重心为点G ,若|PF 1|∶|PF 2|=3∶4,那么△GPF 1的面积为( )A. 24B. 12C. 8D. 6二、 解答题4. (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y =x 24与直线l :y =kx +a (a >0)交于M ,N 两点.(1) 当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2) y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由.5. 已知椭圆C :x 23+y 2=1,圆O :x 2+y 2=4上一点A (0,2). (1) 过点A 作两条直线l 1,l 2都与椭圆C 相切,求直线l 1,l 2的方程并判断其位置关系;(2) 同学甲:过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终相互垂直; 同学乙:过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终不垂直. 请判定两个同学观点是否正确,并证明.B 巩固提升一、 填空题1. 过抛物线y 2=8x 上的任意一点为圆心作与直线x +2=0相切的圆,这些圆必过一定点,则定点的坐标是________.2. 设A (x 1,y 1),B ⎝⎛⎭⎫4,95 ,C (x 2,y 2)是右焦点为F 的椭圆x 225 +y 29 =1上三个不同的点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则x 1+x 2=________.二、 解答题3. (2019·烟台一模)已知F 为抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点,过F 的动直线交抛物线C 于A ,B 两点.当直线与x 轴垂直时,|AB |=4.(1) 求抛物线C 的方程;(2) 若直线AB 与抛物线的准线l 相交于点M ,在抛物线C 上是否存在点P ,使得直线P A ,PM ,PB 的斜率成等差数列?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.4. (2019·池州期末)已知定点A (-3,0),B (3,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为-19,记动点M 的轨迹为曲线C . (1) 求曲线C 的方程;(2) 过点T (1,0)的直线l 与曲线C 交于P ,Q 两点,是否存在定点S (s ,0),使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值?若存在,求出S 的坐标;若不存在,请说明理由.微难点10 解析几何运算中的常用技巧一、 选择题1. 已知双曲线x 2a 2 -y 2b 2 =1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3 x ,它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A. x 236 -y 2108 =1B. x 29 -y 227=1 C. x 2108 -y 236 =1 D. x 227 -y 29=12. 已知椭圆E :x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的标准方程为( )A. x 245 +y 236 =1B. x 236 +y 227=1 C. x 227 +y 218 =1 D. x 218 +y 29=13. 已知双曲线x 2a 2 -y 2b 2 =1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),P 为双曲线上任一点,且PF 1·PF 2最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤-34c 2,-12c 2 ,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A. (1,2 ] B. [2 ,2] C. (0,2 ] D. [2,+∞)二、 填空题4. (2019·清江中学)已知F (2,0)为椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的右焦点,过F 且垂直于x 轴的弦长为6,若A (-2,2 ),点M 为椭圆上任一点,则|MF |+|MA |的最大值为________.5. 如图,已知椭圆C 的中心为原点O ,F (-25 ,0)为C 的左焦点,P 为C 上一点,满足OP =OF ,且PF =4,则椭圆C 的方程为________.(第5题)三、 解答题6. 已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)上的点到两个焦点的距离之和为23 ,短轴长为12,直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 若直线l 与圆O :x 2+y 2=125相切,求证:OM → ·ON → 为定值.7. 已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e =12,且椭圆C 经过点P (2,3),过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ,B 两点.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求△PF 1G 的面积S 的取值范围.8. 如图,O 为坐标原点,点F 为抛物线C 1:x 2=2py (p >0)的焦点,且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2:x 2+y 2=1相切于点Q .(1) 当直线PQ 的方程为x -y -2 =0时,求抛物线C 1的方程;(2) 当正数p 变化时,记S 1 ,S 2分别为△FPQ ,△FOQ 的面积,求S 1S 2的最小值.(第8题)。