第二十七讲长方体和正方体
我们已经学习了长方体和正方体的有关知识，如长方体和正方体的特征，长方体和正方体表面积、体积的计算。

在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体的知识，这些问题既有趣，又具有一定的思考性，解答这些问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知识和较强的观察能力、作图能力和空间想象能力，还要能掌握一此致解题的思路的技巧。

通过本讲的学习，同学们将从解题的过程中得到一些启示，悟出一些道理，从而提高空间想象能力和分析推理能力。

例题与方法
例1．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。

这个长方体的体积和表面积各是多少？
例2．在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的小。

如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？
例3．一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。

每一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。

已知每次从容器中溢出的水量的情况：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。

问：大球的体积是小球的多少倍？
例4．一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长15厘米的长方体铁块。

这时容器里的水深0.5米。

如果把铁块取出，容器里水深多少厘米？
练习与思考
1．一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。

2．用2100个棱长是1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。

已知长方体的高是10厘米，并且长和宽都大于高。

这个长方体的长和宽各是多少厘米？
3．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。

现在在水中沉入一个棱长30厘米的正方体铁块，这时容器中水深多少分米？
4．把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一块棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体。

求这个长方体的高。

5.有大、中、小三个长方体水池，它们的池口都是正方形，边长分别为6分米、3分米、2分米。

现在把堆碎石分别沉入水中、小水池内，这两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。

如果把这两堆碎石都沉入大水池内，那么，大水池的水面将升高多少厘米？（得数保留整数）
6．有一块长方形的铁皮。

长30厘米，宽20厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为2厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。

（1）求这个盒子的容积。

（2）做这个盒子用了多少平方厘米铁皮？
7．有一块长方形的铁皮，长32厘米。

在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。

已知这个盒子的容积是768厘米，求原来长方形铁皮的面积。

8．把一根长 6.4米粗铁丝截成几段，焊成一个长方体的框架，再用铁皮包上各个面。

要使做成的带盖的长方形铁皮箱尽量能多装棱长为1分米的正方体（铁丝架所占的空间不计），做这个长方体铁皮箱需多少面积的铁皮？（焊接处不计。

）
9．有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且
长、宽、高都有是质数，这个长方体的体积是多少？
10．一个长方体容器，底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米。

现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？
第三十二讲分解质因数（一）
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。

例如：2、3都是36的质因数，4和9都是36的因数，但不是36的质因数。

把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如240=24×3×5，4200=23×3×52×7
在解决一些数学问题的过程中，我们常常把一些已知数分解质因数，以便于研究已知数与未知数之间的关系。

例题与方法
例1．23÷（）=（）……5，在括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？
例2．班主任李老师带领五（1）班同学去种树，全班同学恰好可以平均分成3组。

如果老师与学生每人种树的棵树一样多，则共种了364棵树。

五（1）班有学生多少人？每人种树多少棵？
例3．一只筐里共有96个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完。

那么，共有几种拿法？
例4．将下列八个数平均分成两组，并使这两组数的乘积相等。

例5．504乘以自然数a，得到一个平方数（即等于某自然数的平方），求a的最小值和这个平方数。

练习与思考
1．用1，2，3三个数字，允许重复使用，可以组成100以内的哪些质数？2．三个自然数的乘积为120，其中两个数的和等于另一个数，求这三个数。

3．用462个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
4．把9，15，28，30，34，55，77，85这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等，应该怎样分？
5．如果两个自然数的和是32，这两个数的积可以整除3003，那么，这两个数的差是多少？
6．要使145×32×20×□积的末五位数都是0，□里填入的自然数的最小值是多少？
7．把若干个自然数1，2，3，4，…连乘起来，当乘积的最末20位恰好都是0时，最后出现的自然数最小是多少？
8．有若干箱同样大小的正方形瓷砖，每箱360块。

问：至少取多少箱，才能使所取出的瓷砖能拼成一个正方形？（要求整箱地取，所取的瓷砖要全部用上。

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