直线和圆的方程知识关系
直线的方程一、直线的倾斜角和斜率
1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180
α<
o o
≤.
2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即
tan
kα
=.
注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
②当ο
90
=
α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在.
③过两点
111
(,)
P x y、
222
(,)
P x y
12
()
x x
≠的直线斜率公式21
21
tan
y y
k
x x
α
-
==
-
二、直线方程的五种形式及适用条件
名称方程说明适用条件
斜截式y=kx+b
k—斜率
b—纵截距
倾斜角为90°的直线
不能用此式
点斜式y-y0=k(x-x0)
(x0，y0)—直线上已
知点，
k ──斜率
倾斜角为90°的直线
不能用此式
两点式1
21
y y
y y
-
-
=1
21
x x
x x
-
-
(x1，y1)，(x2，y2)
是直线上两个已知
点
与两坐标轴平行的直
线不能用此式
截距式
x
a
+
y
b
=1
a—直线的横截距
b—直线的纵截距
过（0，0）及与两坐
标轴平行的直线不能
用此式
一般式
A x+
B y+C=0
(A、B不全为零)
A、B不能同时为零
直线和圆的方程
简单的线性规划例13. 若点（3，1）和（4
-，6）在直线0
2
3=
+
-a
y
x的两侧，则实数a的取值范围是
()724
A a a
<->
或()724
B a
-<<()724
C a a
=-=
或（D）以上都不对例14. ABC
∆的三个顶点的坐标为(2,4)
A，(1,2)
B-，(1,0)
C，点(,)
P x y在ABC
∆内部及边界上运动，则2
y x
-的最大值为，最小值为。

例15. 不等式组：
10
x y
x y
y
-+
+
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
≥
≤
≥
表示的平面区域的面积是；
例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。

问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？
例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：
根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.
程。

例30.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，⑴求实数m取值范围；⑵求圆的半径r取值范围；⑶求圆心轨迹方程
数学基础知识与典型例题(第七章直线和圆的方程)答案
例1.A 例2.B 例3.C 例4. 1()2
-、0,3 例5. 02=--y x 例6.B 例7.C 例8. 2x ＋3y ＋10＝0 例9. 0,8, 例10. 135290x y +-=
例11. 解:⑴∵ k BC =5,∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=5
1-
∴ AD 所在直线方程y +1=51-(x -2) 即x +5y +3=0
⑵∵ AB 中点为（3，1），k AB =2,∴ AB 中垂线方程为x +2y -5=0
⑶设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，
则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。

∵ k AC =-1，k AB =2,∴ 12112k k k k
+-=-+, ∴ k 2+6k -1=0,∴ k =-3-10（舍），k =-3+10
∴ AE 所在直线方程为(10-3)x -y -210+5=0
评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。

一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。

也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y )
为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC
=，化简即可。

还可注意到，AB 与AC 关于AE 对称。

例12. 解题思路分析：
直线l 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）
作为参数是本题关键。

通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。

解:设Q （x 0，4x 0），M （m ，0）
∵ Q ，P ，M 共线∴P PM k k =Q
∴ 0044466x x m
-=--解之得：0051x m x =- ∵ x 0>0，m >0∴ x 0-1>0
∴ 20000101||4221
OMQ x S OM x mx x ∆===- 令x 0-1=t ，则t >0,210(1)110(2)t S t t t
+==++≥40 当且仅当t =1，x 0=11时，等号成立,此时Q （11，44），直线l ：x +y -10=0 评注：
例13.B 例14.42-例15.14
例16. 种蔬菜20亩,棉花30亩,水稻不种,总产值最高27万元.
例17.解：设初中x 个班，高中y 个班，则2030(1)28581200x y x y +⎧⎨+⎩≤≤≤⑵
设年利润为s ，
则y x y x y x s 22.16.15.22.1215.04006.060+=⨯-⨯-⨯+⨯=
作出（1）、（2）表示的平面区域，
如图，过点A 时，S 有最大值，
由⎩⎨⎧=+=+1200
582830y x y x 解得A （18，12）. 易知当直线1.2x +2y=s
即学校可规划初中18个班，高中12个班,
6.45122182.1max =⨯+⨯=∴s （万元）.
可获最大年利润为45.6万元.
评 线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲重视知识应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目标函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式，②作出可行域，写出目标函数，③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．但在解答时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比较困难的．是函数方程思想的应用.
例18.A 例19.D 例20. x 2+)1(142±≠=x y 例21. (x 9
4)34()3422=-+-y 例22. 解：以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则
1(20)O -，，2(20)O ，.由已知PM =，
得222PM PN =.因为两圆半径均为1，
所以221212(1)PO PO -=-.设()P x y ，，
则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，
即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=)
例23.D 例24.C 例25.C 例26.B 例27. x 2+(y -1)2=1 例28. x +y =0或x +7y -6=0
例29. 解：x 2+y 2－6x －8y =0即(x －3)2+(y －4)2=25， 设所求直线为y ＝kx 。

∵圆半径为5，圆心M （3，4）到该直线距离为3，
∴
3d ==， ∴22924169(1)k k k -+=+，∴724
k =。

∴所求直线为y x 24
7=或0=x 。

例30.⑴m 满足[-2(m +3)]2+[2(1-4m 2)]2-4(16m 4+9)>0，
即7m 2-6m -1<0,∴117
m -<<
⑵半径r =
∵ 117m -<<,∴ 37
m =时，max 7r =, ∴ 0<r ≤
⑶设圆心P （x ，y ），则2341
x m y m =+⎧⎨=-⎩ 消去m 得：y =4(x -3)2-1,又117
m -<< ∴ 2047
x << ∴ 所求轨迹方程为(x -3)2=41(y +1)（2047
x <<）。