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直线和圆的方程知识及典型例题

数学基础知识与典型例题直线和圆的方程直线和圆的方程知识关系直线的方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180α<o o≤.2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即tankα=.注:①每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率.②当ο90=α时,直线l垂直于x轴,它的斜率k不存在.③过两点111(,)P x y、222(,)P x y12()x x≠的直线斜率公式2121tany ykx xα-==-二、直线方程的五种形式及适用条件名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk—斜率b—纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0,y0)—直线上已知点,k ──斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式121y yy y--=121x xx x--(x1,y1),(x2,y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式xa+yb=1a—直线的横截距b—直线的纵截距过(0,0)及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式A x+B y+C=0(A、B不全为零)A、B不能同时为零两直线的位置关系⑵两条相交直线1l与2l的夹角:两条相交直线1l与2l的夹角,是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角θ,又称为1l和2l所成的角,它的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎦⎝,当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·k2≠-1时,则有2112tan1k kk kθ-=+.4.距离公式。

⑴已知一点P(x0,y0)及一条直线l:A x+B y+C=0,则点P到直线l的距离d=0022||Ax By CA B+++;⑵两平行直线l1:A x+B y+C1=0,l2:A x+B y+C2=0之间的距离d=1222||C CA B-+。

5.当直线位置不确定时,直线对应的方程中含有参数.含参数方程中有两种特殊情形,它们的对应的直线是有规律的,即旋转直线系和平行直线系.⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中,①当(x0,y0)确定,k变化时,该方程表示过定点(x0,y0)的旋转直线系,②当k确定,(x0,y0)变化时,该方程表示平行直线系.⑵已知直线l:A x+B y+C=0,则①方程A x+B y+m=0(m为参数)表示与l平行的直线系;②方程-B x+A y+n=0(n为参数)表示与l垂直的直线系。

⑶已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点的直线系(不含l2)掌握含参数方程的几何意义是某种直线系,有时可以优化解题思路.例10. 经过两直线11x-3y-9=0与12x+y-19=0的交点,且过点(3,-2)的直线方程为_______.例11. 已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2),求:⑴BC边上的高所在直线方程;⑵AB边中垂线方程;⑶∠A平分线所在直线方程.例12. 已知定点P(6,4)与定直线l1:y=4x,过P点的直线l与l1交于第一象限Q点,与x轴正半轴交于点M,求使△OQM面积最小的直线l方程.简单的线性规划线性规划⑴当点P(x0,y0)在直线A x+B y+C=0上时,其坐标满足方程A x0+B y0+C=0;⑵当P不在直线A x+B y+C=0上时,A x0+B y0+C≠0,即A x0+B y0+C>0或A x0+B y0+C<0。

这就是二元一次不等式的几何意义:二元一次不等式A x+B y+C>0(或<0)表示直线A x+B y+C=0上方或下方区域,其具体位置的确定常用原点(0,0)代入检验。

利用此几何意义,可以解决一类二元函数的最值问题。

这就是线性规划的内容。

简单的线性规划例13. 若点(3,1)和(4-,6)在直线023=+-ayx的两侧,则实数a的取值范围是()724A a a<->或()724B a-<<()724C a a=-=或(D)以上都不对例14. ABC∆的三个顶点的坐标为(2,4)A,(1,2)B-,(1,0)C,点(,)P x y在ABC∆内部及边界上运动,则2y x-的最大值为,最小值为。

例15. 不等式组:10x yx yy-++⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥表示的平面区域的面积是;例个劳动力种50亩地,这些地可种蔬菜、棉花或水稻,如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。

问怎样安排才能使每亩都种上农作物,所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高例17.某集团准备兴办一所中学,投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班为单位)如下:根据有关规定,除书本费、办公费外,初中生每年可收取学费600元,高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制,办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况,请你合理规划办学规模使年利润最大,最大利润多少万元(利润=学费收入-年薪支出)曲线和方程曲线与方程:在直角坐标系中,当曲线C和方程F(x,y)=0满足如下关系时:①曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;②②以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则称曲线C为方程F(x,y)=0表示的曲线;方程F(x,y)=0是曲线C表示的方程.注:⑴如果曲线C的方程是F(x ,y)=0,那么点P0(x0 ,y0)在曲线C上的充要条件是F(x0 ,y0)=0⑵解析几何研究的内容就是给定曲线C,如何求出它所对应的方程,并根据方程的理论研究曲线的几何性质。

其特征是以数解形, 坐标法是几何问题代数化的重要方法。

⑶求曲线方程的步骤:建、设、现(限)、代、化.曲线和方程例18. 点),(62ttM适合方程3xy=是点M在曲线3xy=上的( )(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)什么条件也不是例19.曲线C1:xyx=+22与C2:yxy=2的交点数是()(A)1个(B) 2个(C)3个(D)4个例20. 已知定点)0,1(-A,)0,1(B,点M与A、B两点所在直线的斜率之积等于4-,则点M的轨迹方程是例22. 如图,圆1O与圆2O的半径都是1,124O O=. 过动点P分别作圆1O、圆2O的切线PM PN,(M N,分别为切点),使得2PM PN=.试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.例30.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆,⑴求实数m取值范围;⑵求圆的半径r取值范围;⑶求圆心轨迹方程数学基础知识与典型例题(第七章直线和圆的方程)答案例 例 例 例4. 1()2-、0,3 例5. 02=--y x 例 例 例8. 2x +3y +10=0 例9. 0,8, 例10. 135290x y +-=例11. 解:⑴∵ k BC =5,∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51- ∴ AD 所在直线方程y +1=51-(x -2) 即x +5y +3=0⑵∵ AB 中点为(3,1),k AB =2,∴ AB 中垂线方程为x +2y -5=0 ⑶设∠A 平分线为AE ,斜率为k ,则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。

∵ k AC =-1,k AB =2,∴ 12112k kk k+-=-+, ∴ k 2+6k -1=0,∴ k =-3-10(舍),k =-3+10 ∴ AE 所在直线方程为(10-3)x -y -210+5=0评注:在求角A 平分线时,必须结合图形对斜率k 进行取舍。

一般地涉及到角平分线这类问题时,都要对两解进行取舍。

也可用轨迹思想求AE 所在直线方程,设P(x ,y )为直线AE 上任一点,则P 到AB 、AC=,化简即可。

还可注意到,AB 与AC 关于AE 对称。

例12. 解题思路分析:直线l 是过点P 的旋转直线,因此是选其斜率k 作为参数,还是选择点Q (还是M )作为参数是本题关键。

通过比较可以发现,选k 作为参数,运算量稍大,因此选用点参数。

解:设Q (x 0,4x 0),M (m ,0) ∵ Q ,P ,M 共线∴P PM k k =Q∴ 0044466x x m-=--解之得:0051x m x =-∵ x 0>0,m >0∴ x 0-1>0∴ 20000101||4221OMQ x S OM x mx x ∆===-令x 0-1=t ,则t >0,210(1)110(2)t S t t t+==++≥40 当且仅当t =1,x 0=11时,等号成立,此时Q (11,44),直线l :x +y -10=0 评注:例 例14.42-例15.14例16. 种蔬菜20亩,棉花30亩,水稻不种,总产值最高27万元.例17.解:设初中x 个班,高中y 个班,则2030(1)28581200x y x y +⎧⎨+⎩≤≤≤⑵设年利润为s ,则y x y x y x s 22.16.15.22.1215.04006.060+=⨯-⨯-⨯+⨯= 作出(1)、(2)表示的平面区域, 如图,过点A 时,S 有最大值, 由⎩⎨⎧=+=+1200582830y x y x 解得A (18,12).易知当直线+2y=s即学校可规划初中18个班,高中12个班, 6.45122182.1max =⨯+⨯=∴s (万元).可获最大年利润为万元.评 线性规划是直线方程的简单应用,是新增添的教学内容,是新大纲重视知识应用的体现,根据考纲要求,了解线性不等式表示的平面区域,了解线性规划的意义并会简单应用,解决此类问题,关键是读懂内容,根据要求,求出线性约束条件和目标函数,直线性约束条件下作出可行域,然后求线性目标函数在可行域中的最优解,归纳如下步骤:①根据实际问题的约束条件列出不等式,②作出可行域,写出目标函数,③确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.但在解答时,格式要规范,作图要精确,特别是最优解的求法,作时还是比较困难的.是函数方程思想的应用.例 例 例20. x 2+)1(142±≠=x y 例21. (x 94)34()3422=-+-y 例22. 解:以12O O 的中点O 为原点,12O O 所在直线为x 轴, 建立如图所示的平面直角坐标系,则 1(20)O -,,2(20)O ,.由已知2PM PN =, 得222PM PN =.因为两圆半径均为1,所以221212(1)PO PO -=-.设()P x y ,,则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-, 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 例 例 例 例例27. x 2+(y -1)2=1 例28. x +y =0或x +7y -6=0例29. 解:x 2+y 2-6x -8y =0即(x -3)2+(y -4)2=25, 设所求直线为y =kx 。

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