J ____ __ B
卜
J l + x* 1-K B
式方程的常规办法来解，将会带来繁琐的运算，如能适当局部通分，并辅以除法
求解，将会得到较为理想的效果.
解 局部通分得 d ）（D 丘-恥-2）'
去分母，得x 2— 7x + 10=x 2 — 9x + 18.故2x=8..°. x=4.经检验知x=4是原方程的 解.
分式运算中的“七巧”
1.巧用公式的基本性质
z-1
解原式（化为警分式）
—（沁本性励
（X -一） • Z
£
例B 化简 ;— +
2
+ T
2.
巧用逐步通分法
：I 分析若
一次性完成通分，运算量很大，注意到（1 — x ）（1 + x ）=1 —X 4,可以用逐步通分法化简.
巧解分式方程
、裂项法 例1解方程三+三・三+三 X-6 - C X -4 Z - 0
分析 方程中每一个 分式的分母加1都等于它的分子•根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项, 然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分将分子化为 解原方程可化为 匕公）U t^-e ） + 1 _（3 J4）+ 1 （A -6） +J K — 2 A
- 3 （A
- 4） x - 6 Bn 1 1 1 1 移项得土「土匚士一 通分得宀 解之得x=5 .经检验x=5是原方程的解. 2 2
•・x — 14x + 48=x — 6x +
8,
、局部通分法
分析用去分母化整 例1廿算—一仗--）
_IL L ~^1
而(1 — x 2)(1 + x 2)=1
解
1-X
1 閔 型
2龙 1
3•巧用运算律
例3计算 ' I ： I ：! 1 ■ -：!'：分析
1 1 力 4” 折
可以先用加法交换律整理顺序如下： 1-工1十工1十1十兀* 1十严
再用逐步通分法化简.
< y 2 x 、 x （ -- +
- +
---- ）中"1
例4化简 x f 宀y +硼 y +矽解原式
（-）a + 2（丄）+ 1（乘法分配律）
x x
4.巧用已知条件 例5当x 2 — 4x + 1=0时,
解原式二十-宁害
K - 1 耳（JE 一 1）
（云十
1）（號_1）
X （K - 1）
为了求岀代数式的值，将己知条件变形为疋+1 =伉 则原式二竺=4
x
原式卜卜矗一詞诗】]怡"◎■诗
6 •巧变形 例7计算
[ ] 1
尹证而+乔丽弓+…刁丽匚丽 分析 我们注意一个事实
求角"士）呃
5 •巧用乘法公式
例6计算 b a b J 『
（丁吋計）
解应用立方和公式
x （x+y ） x+y y （x+y ）
解设・=必则咅三丄 原式=
丄・2) + (1」
a b u
u
u
u
U ■'一 1
, U 2 - 2u.十 1 11十1
U
ll
u
b 3
(u +1) (u — 1)审 U
. U u
口
(耳- ⑴4 D U T
通过换元，降低了式子中字母的次数，便于计算.
0十1)@+ 2)0 斗 3伍亠 4) 41
例9计算
/十为朽
解 把分子括号适当搭配［(a +
2 2 2
1)(a + 4)][(a + 2)(a + 3)] + 1=(a + 5a + 4)(a + 5a + 6) + 1 .这时若把 a + 5a + 5 看作
m 贝U a 2 + 5a + 4=m- 1 a 2 + 5a + 6=n + 1
二原式_血-如1) + 1
m 2
-1+1
= =m
IIL
m
=a + 5a + 5
讨论分式问题的四点注意 1.讨论分式有无意义时，要注意对原分式进行讨论，不能在约分后再讨 论.因为约分后常会使未知数取值范围扩大.
y + 9
例1当蠶取何值时，分式 a
r W 意义.
X - K - 6
由x 一3工0得XM 3. •••当x^3时，原
2 5-
3 1 1
3x5 "3x5 ■ ■ 3 亏
■4 7-3 1
- -
1
3x7 3x7 3 7'
一般地有
f
a h \ \
ab
ab ab b a
解：原式=
+
+ ....... +
j-1 J -2 沙 2 誥和
沙
99 r + 10Q
1 1 1
虻1；附2) i+： W
_ 1 1
4 ii -i
4 il +
x + 1 i + 100 1 1 1
.
99
(屮 9驰 HOO)卄99 x+100
91)估+ 100)
原式二 一
—-1
错解 原式=
针对本题
3丿 八
( ------ )r (—丰 -----2}
7 •巧换元 例8化简 「 ■ ■ 7
分式有意义. 分析 上述解法是错误的，事实上当x=-2时，原分式也没有意 义.
2.讨论分式的值为零时，不但要使分子的值为零，而且还要注意使分母的
x=1时，分式的分母为零，分式无意义.
3. 讨论繁分式有无意义时，不能只讨论最后一层分母，而且要注意对每层
例3北为何值时，繁分式有意义-
1 + -----
分母都要讨论.
x-1
错解由x —
1工0得XH 1 .
•••当XH1时，原繁分式有意
分析原分式中1 +亠是分母，当潭值使每一层的分母的值
义.
；1
都不为零
时，繁分式才有意义.
4. 讨论分式方程的解时，不但要使各分母的值不能为零，还要注意分子为
例4解关于龙的方fi-^- = 4-a.
零的特殊情况.
^7
错解 方程两边同乘以x — 1
得. (4 — a)(x — 1) = 2a ， 即(4 — a)x=4 + a .
当 a=4时，原方程无
井析当割=0吋・廉方程变为-^ = 4,愛取任何值都不满足这个方
解. 疋一1
程.错
解只注意对a=4的讨论.而忽视了对a=0的特殊情况的讨论.
值不能为零.
例戈当曲何值时，分式亠二的值为零.
错解由X 2—
仁0,得 x=± 1. 二当…时分式求昙的值样
分析当。