反函数的导数
首先证明反函数的求导公式：
定理：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)y （ϕ在点
y
的某邻域内连续，严格单
调且()0'0≠y ϕ，则()x f 在点()()00y x x ϕ=可导，且()()
00'1
'y x f ϕ=
证：设()()00y y y x ϕϕ-∆+=∆，()()00x f x x f y -∆+=∆因为ϕ在0y 的某邻域内连续且严格单调，故1
-=ϕf 在0x 的某邻域内连续且严格单调，从而当且仅当0=∆y 时0=∆x ，并
且
当
且
仅
当
→∆y 时
→∆x ，由
()0
'0≠y ϕ，可得
()()00000'1lim
1lim lim
'y y
x x y x y x f y y x ϕ=∆∆=∆∆=∆∆=→∆→∆→∆。

例6 证明： （i ）(a a a
x
x
ln )'(
=其中）1
.0(≠>a a 特别地()
x x e e ='
. (ii) )arcsin '
(
x =
x
2
-11；
()x arccos '=—
x
2
-11
(iii)
()
x arctan '
=
x
2
11+；
()
x arc cot '
=—
x
2
11+
证
（i ）由于R x y a x
∈=
.为对数函数
，y x a
log
=
.),0(+∞∈y 的反函数，故由公
式（6）得到
()
a
x '
=
)(log '
1
y a =e
y
a
log =
a a
x
ln .
（ii ）由于)1,1(,arcsin -∈=x x y 是)
2.2(,sin π
π-∈=y y x 的反函数，故由公式（6）得到
()x arcsin '
=
()
y sin '
1
=
y
cos 1
=
y
sin 2
-11=
)1,1(.-112
-∈x x
同理可
证:
()
x arccos '
=—
)1,1(.-112
-∈x x
()
=
x arctan '
()
y tan '
1
=y sec
2
1
=
y tan 2
11
+=
x
2
11
+
,()+∞∞-∈,x ,
同理可证
()
x arctan '
=—
()+∞∞-∈+,.112
x x
反函数组与坐标变换 设函数组
()()y x v y x u u ,,,== （9） 是定义在xy 平面点集R B 2
⊂上的两个函数，对每一点()y x P ,B ∈，由方程组有uv 平面
上惟一的一点()R
Q 2
v u,∈
∈与之对应，我们称方程组确定了B 到
R 2
的一个映射（变换）
，记作T ，这时映射可写成如下函数形式 T:B R
2
→
,
()()v u Q y x P ,,
或写成点函数形式()B P P T Q ∈=,，并称()v u,Q 为映射下()y x P ,的象，而P 则是Q 的原象，记B 在映射T 下的象集为
B '
=()B T
反过来，若T 为一一映射（即不仅每一原象只对应一个象，而且不同的原象对应不同的象），这时每一点B Q '
∈
，由方程组（9）都有惟一的一点B P ∈与之相对应，由此所产生的新映
射称为映射T 的逆映射（逆变换），记作T
1
-，即
T 1-:
B B →'
P Q 或 ()B T Q Q P '
1
,∈=
- 亦即存在定义在上的一个函数组
()()v u y y v u x x ,,,== （10） 把它代入（9）而成为恒等式：
()()()()),,,,(),,,,u u v u y v u x v v v u y v u x ≡≡（ （11） 这时我们又称函数组（10）是函数组（9）的反函数组。

关于反函数组的存在性问题，其实是隐函数组存在性问题的一种特殊情形，这只需把方程组（9）改写成 ()0),(,,,=-=y x u u v u y x F ()()0,,,,=-=y x v v v u y x G （12）
并将定理应用与（12），便可得到函数组(9)在某个局部范围内存在反函数（10）的下述定理。

定理（反函数组定理） 设函数组（9）及其一阶偏导数在某区域R
D 2
⊂
上连续，点
p o
()y x o
,
0是D 的内点，且
()()()()
0,,,,,0
,
00≠∂∂==y x v u u
y x v y x u
则在点
()v p 0
0'
u 0，的某一邻域
U ⎪⎭
⎫
⎝⎛P 0'
内存在惟一的一组反函数（10），使得()()
v u y v u x y x 0
,000,00,==，且当()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈P U v u 0,'
时，有()()()()p U v u y v u x 0
,,,∈以及
恒等式（11),此外，反函数组（10）在⎪⎭
⎫ ⎝⎛P 0'
内存在连续的一阶偏导数，且
()()y x v u y u v x ,,/∂∂∂∂-=∂∂，()(),,,/y x v u y v u x ∂∂∂∂=∂∂
()()y x v u x v u y ,,/∂∂∂∂-=∂∂，()()
y x v u x u v y ,,/∂∂∂∂=∂∂。

由(13)看到：互为反函数组的（9）（10），它们的雅各比行列式互为倒数，即
()()()()
1,,.,,=∂∂∂∂v u y x y x v u 。