学科：高等数学第二章 导数与微分知识点19 反函数的求导 精选习题作者：邹群例19.1(难度系数0.2) 的反函数在处的导数xy -=⎰()x x y =0y =0'()|y x y ==.解析：基础题型.注意无需求出反函数，只需要利用公式，求原函数1dx dydy dx=的导数再找到值的对应即可.因为，所以时，.因此10--=⎰0y =1x =-.0111'()d d y x x y y x==-===.温馨提示：在求反函数的导数时，感觉微商形式的公式非常好用，因1dx dy dydx=为此式就是一个除法式，函数关系一目了然.例19.2(难度系数0.2)若是可导函数，且，，则的反函数()f x ()()2sin sin 1f x x '=⎡+⎤⎣⎦()04f =()f x 当自变量取4时的导数值为 .()x y φ=解析：，.()2d 11d d sin sin 1d x y y x x==⎡+⎤⎣⎦()()224d 11d sin sin1sin sin 1y x x yx ====⎡+⎤⎣⎦解：.()21sin sin1例19.3(难度系数0.4，跨知识点53 )设，求它的反函数的二阶导数及.22=e d 10t x y t +⎰=()x y ϕ22d d xy(1)ϕ''解析：考查积分上限的函数、反函数的二阶导数和复合函数求导.解： 因为，所以，故，24d 2d x y e x =24d 1d 2x x e y -=222482d d 1d ()2d d 2d x x x x e xe y x y --==-因为时，，所以.1y =0x =(1)0ϕ''=例19.4(难度系数0.4) 设函数，()2312,1, 121216, 2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-<≤⎨⎪->⎩（1）写出的反函数的表达式；()f x ()g x （2）是否有间断点、不可导点，若有指出这些点并加以说明.()g x 解析：（1）分段函数求反函数的题目比较少见，虽然分段函数的每一段并不是单独的函数，但是此时“暂时地”将每一段当成单独的函数，然后求其反函数，最后再将它还原成各段，这不失为一种求分段函数反函数的好办法；（2）分段点可能是间断点和不可导点，利用定义进行说明.解：（1）因为当时，对应 1x <-()1f x <-.据，即在当时，()212f x x =-x =()g x 1x <-.()g x =对其他区间类似讨论得：.()1 1816, 812x g x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪+⎪>⎪⎩（2）因为在1111lim ()lim 1lim ()lim x x x x g x g x --+→-→-→-→-==-==()g x 1x =-处连续；，所以在处连续；888816lim ()lim2lim ()lim 12x x x x x g x g x -++→-→-→-→-+====()g x 8x =从而为连续函数，无间断点.()g x 当时，在处不可导；18x -<≤()g x =0x = 88162()(8)112'(8)lim lim ,8812x x x g x g g x x +++→→+--===--88()(8)1'(8)lim lim ,812x x g x g g x ---→→-===-所以在处可导.()g x 8x =11()(1)1'(1)lim lim ,(1)3x x g x g g x +++→-→----===--11()(1)1'(1)lim lim ,(1)4x x g x g g x --→-→----===--所以在处不可导.()g x 1x =- 综上所述，在连续，在处不可导.()g x (,)-∞∞1,0x x =-=例19.5(难度系数0.6)设与互为反函数，且三阶可导，试()y f x =()x y φ=()y f x =用表示.,,y y y ''''''2323d d ,d d x xy y解析：利用反函数求导公式求一阶导，求高阶导时用复合函数求导法则，这类似于求隐函数的高阶导.解：，d 1d x y y ='上式两边对求导，；y 2223d d d d 1d 1d 1d (()()d d d d d d d x x x x y y y y y y y x y y y y y ''''====-⋅=-''''上式两边再对求导，.y 3322365d 3d 3d d x y y y y y x y y y y y y y'''''''''''''''-⋅-=-⋅=''例19.6(难度系数0.6) 单调可导,其反函数为,且已知()f x ()g x(1)2,'(1)f f ==求."(1)1,f ="(2)g解析：考虑函数与反函数的关系，即两边对求导两次，代入数字[()],g f x x =x 即可得答案.解：[()]g f x x =再求导得到 . 2''[()]'()'[()]''()0g f x f x g f x f x +=例19.7(难度系数0.4) 设严格单调函数具有二阶导数，其反函数为()y f x =且满足，则 .(),x y ϕ=(1)1,(1)2,(1)3f f f '''==-=(1)ϕ''=解析：是的函数，是的函数，利用复合函数求导.d 1''()[d '()y y f x ϕ=1'()f x x x y 解： ，.3d 1d 1d ''()''()[][]d '()d '()d '()x f x y y f x x f x y f x ϕ===-(1)ϕ''=38例19.8(难度系数0.8，跨知识点24) 设有反函数，，且()f x ()g x 0a >.()(), 0, f a b f a c '==≠() 2f a ''=(1) 求；()g b ''(2) 求.()()()lim ln ln x af a x f a I x a x a→--=--解析：(1)根据反函数求导法则，两边关于求导，再代入数字可()()1f x g y ''=x 得.(2)利用等价无穷小的替换，也要用导数的定义.解：(1)记，为的反函数，已经改变了符号，为利用反函数()y f x =()g x ()f x 公式，需要将改为,注意到，并且，()g x ()g y x a y b =⇒=()()11g b f a c'=='由等式，两边再次关于求导得()()1f x g y ''=x ,()()()()()()()()200x f x g y f x g y y f x g y f x g y '''''''''''''+=⇒+⎡⎤=⎣⎦令，则 .x a =()()()()223122f a g b c g b c c f a ⋅'''''=-=-=-'⎡⎤⎣⎦(2)注意到等价无穷小替换公式.令即得.()ln 1x x + 1x t =-ln 1t t - ()()()()()()()()()()()()22limlimln ln ln ln limlim =.ln 1x ax a x a x a f a x f a x x a x x a I f a a x ax a x a x x a x x a f a f a f a a a x xa a→→→→------'=⋅=--------'''==-=--例19.10(难度系数0.6) 设在内具有二阶导数，且，()y y x =(,)-∞+∞0y '≠是()x x y =的反函数，试将所满足的方程变换为()y y x =()x x y =232d d (sin )(0d d x xy x y y ++=满足的方程.()y y x =解析：因为是的函数，是的函数，所以是的函数，两边对d 1d x y y ='x x y d d xyy y 求导得到表达式，再代入方程可求解.232d d (sin )()0d d x xy x y y++=解：，上式两边对求导，，代入方程d 1d x y y ='y 2223d 1d d d x x y y y y y y ''''=-⋅=-''，得，即.232d d (sin )()0d d x x y x y y ++=331(sin )()0y y x y y ''-++=''sin y y x ''-=。