宁波工程学院机械工程学院
机械优化设计大作业
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机械优化设计大作业
1.题目
行星减速器结构优化设计
NGW型行星减速器应用非常广泛。
1.1结构特点
(1)体积小、重量轻、结构紧凑、传递功率大、承载能力高；
(2)传动效率高，工作高；
(3)传动比大。
1.2用途和使用条件
某行星齿轮减速器主要用于石油钻采设备的减速，其高速轴转速为1300r/min；工作环境温度为-20℃～60℃，可正、反两向运转。
按该减速器最小体积准则，确定行星减速器的主要参数。
2.已知条件
传动比u=4.64，输入扭矩T=1175.4N.m，齿轮材料均选用38SiMnMo钢，表面淬火硬度HRC 45~55，行星轮个数为3。
要求传动比相对误差02
∆u。
.0
≤
弹性影响系数Z E=189.8MPa1/2；载荷系数k=1.05；
齿轮接触疲劳强度极限[σ]H=1250MPa；
齿轮弯曲疲劳强度极限[σ]F=1000MPa；
=2.97；应力校正系数Y Sa=1.52；
齿轮的齿形系数Y
Fa
小齿轮齿数z取值范围17--25；模数m取值范围2—6。
注：
优化目标为太阳轮齿数、齿宽和模数，初始点[24，52，5]T
3.数学模型的建立
建立数学模型见图1，即用数学语言来描述最优化问题，模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约
束条件。
3.1设计变量的确定
影响行星齿轮减速器体积的独立参数为中心轮齿数、齿宽、模数及行星齿轮的个数,将他们列为设计变量，即：
x=[x
1 x
2
x
3
x
4
]T=[z
1
b m c]T [1]
式中：z
1¯￣
太阳轮齿数；b―齿宽（mm）；m—模数（mm）;行星轮的个数。
通常情况下，行星轮个数根据机构类型以事先选定，由已知条件c=3。
这样，设计变量为：
x=[x
1 x
2
x
3
]T=[z
1
b m]T [1]
3.2目标函数的确定
为了方便，行星齿轮减速器的重量可取太阳轮和3个行星轮体积之和来代替，即：
V=π/4（d
12+Cd
2
2）b
式中：d
1--太阳轮1的分度圆直径，mm；d
2
--行星轮2的分度圆
直径，mm。
将d
1=mz
1，
d
2
=mz
2
，z
2
=z
1
（u－2）/2代入（3）式整理，目标函数
则为：
F（x）=0.19635m2z
1
2b［4+（u－2）2c］[1]
式中u--减速器传动比;c--行星轮个数
由已知条件c=3,u=4.64,因此目标函数可简化为：
F（x）=4.891x
32x
1
2x
2
3.3约束条件的建立
3.3.1限制齿宽系数b/m的范围5≤b/m≤17，得：
g
（x）=5x3-x2≤0[1]
1
g
（x）=x2-17≤0[1]
2
不发生跟切，得：
3.3.2保证太阳轮z
1
g
（x）=17-x1≤0[1]
3
3.3.3限制齿宽最小值，得：
g
（x）=10-x2≤0[1]
4
3.3.4限制模数最小值，得：
g
（x）=2-x3≤0[1]
5
3.3.5按齿面接触疲劳强度条件，有：
g
（x）=750937.3/﹙x1x2x31/2)－[σ]H≤0[1]
6
式中：[σ]H--齿轮接触疲劳强度极限。
3.3.6按齿根弯曲疲劳强度条件，有：
g
（x）=1482000Y Fa Y Sa/﹙x1x2x32)－[σ]F≤0[1]
7
式中：[σ]F--齿轮弯曲疲劳强度极限；Y Fa--齿轮的齿形系数；Y Sa--应力校正系数。
4.优化方法的选择
解决优化问题的方法有很多中，该优化问题涉及到的数据计算比较庞大、处理比较麻烦，含有较多的非线性约束，所以我选用Matlab优化工具箱中的fmincon函数来求解该类非线性优化问题，避免了复杂且费时费力的计算过程。
5.数学模型的求解
5.1由已知数据可得该优化数学模型如下：
min F（x）=4.891x12x2 x32
Subject to:
g
（x）=5x3-x2≤0
1
g
（x）=x2-17x3≤0
2
g
（x）=17-x1≤0
3
g
（x）=10-x2≤0
4
g
（x）=2-x3≤0
5
g
（x）=750937.3/﹙x1x2x31/2)-1250≤0
6
g
（x）=6690340.8/﹙x1x2x32)-1000≤0
7
5.2基于Matlab对数学模型进行求解
在Matlab中首先编写目标函数的M文件myfun.m,返回x 处的函数值f：
function f = myfun(x)
f=4.891*x(1)^2*x(2)*x(3)^2;
由于约束条件中有非线性约束，所以需要编写一描述非线性约束条件的M文件mycon.m：
function[c,ceq]=confun(x)
c(1)=5*x(3)-x(2);
c(2)=x(2)-17*x(3);
c(3)=750937.3/(x(1)*x(2)*sqrt(x(3)))-1250;
c(4)=6690340.8/(x(1)*x(2)*x(3)^2)-1000;
ceq=[];
最后在command window里输入：
options=optimset('largescale','off'); %采用标准算法
x0 = [24; 52; 5]; %给定初值
lb=[17 ;10 ; 2];ub=[25 ;60; 6];%给定变量的上、下限约束
[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon(@myfun,x0,[],[],[],[],lb,...
ub,@mycon,options) %调用优化过程
5.3最优解和结果分析
运行结果如下图所示：
由图可知，优化的结果为齿数z1=17.0000，齿宽b=27.8872mm，模数m=3.7566mm，总体积V min=5.5628×105mm3。
不过优化结果中的齿数z1必须为整数，齿宽b应圆整为27或者28；对于模数m，必须标准化为3.5或4。
经过计算比较取：z1=17，b=27mm，m=4mm为最优解。
6.结果对比分析
若按初始值减速器的体积V大约为7.3247×105mm3，而优化后的体积V则为6.1063×105mm3,优化结果比初始值体积减少为：ω＝1－(6.1063×105/7.3247×105)×100%＝16.6%
所以优化后的体积比未优化前减少了16.6%，说明优化是很成功的。
学习机械优化设计课程体会
《机械优化设计》是将机械工程设计问题转化为最优化问题，然后选择适当的最优化方法，利用电子计算机从满足要求的可行设计方案中自动寻找实现预期目标的最优化设计方案。
最为机械专业的一名学生，本课程，掌握最优化问题的基本解决方法，从多个可能的方案中选出最合适的、能实现预定最优目标的最优方案有着很现实的意义，为今后的工程实际提供了良好的理论储备。
而在机械优化设计基本理论学习的基础上，再使用美国Math Works开发的Matlab软件，及其附带的优化工具箱作为最优化问题的运算工具，通过对行星齿轮减速器的优化求解，可以看出运用Mtalab优化工具箱来求解优化问题，计算方便、快捷，高效的处理了涵盖各种难度的最优化问题，着实丰富了我的本课程的学习。
不过在初期学习使用的过程中还是出现了很多问题，比如非线性约束如何书写，上、下限如何选择，函数格式如何书写，变量未定义等等或大或小的问题，每次运行都会提示出现错误的地方，比如函数编写的时候没写对、少了括号、分号等，导致无法计算结果。
在不断排除错误、重新编写程序的过程中，渐渐的对Mtalab熟悉起来，出现的Error不断消失，最终在显示器上通过自己从无到有的知识积累才得到的优化结果，感觉一切的郁闷、烦恼都不翼而飞。
所以虽然这门课对数学水平有一定的要求，原理的推导复杂、诡异，各种各样的优化过程更是看的头晕目眩、似懂非懂，不过通过计算机程序还是能便捷的实现各种优化方法。
这门课程让我加深了对前人的敬佩，懂得了一些优化方法的简单计算计算过程和原理，不过有了软件一切计算都交给了计算机，让我省去了优化计算过程，也加深了学好英语的决心，因为一切先进的软件大都是英文的，看不太懂让我在这次设计过程中多走了很多弯路。
总之学习机械优化设计课程，深有体会的就是2个字“头疼”。
参考文献
1、《机械优化设计》[M]，孙靖民、梁迎春主编，北京，机械出版社，2006.12。
2、《基于Matlab的行星齿轮减速器的结构优化设计》[J]，周
小灵，湖南工业大学，《机电产品开发与创新》第22卷第2期,2009.3。
3、《基于Matlab的行星轮减速器优化设计》[J],刘雷敏、李友兴、杨小娟，长江大学，《机械工程师》2009年第9期，2009.7。
4、《机械设计》[M]，濮良贵、纪名刚主编，北京，高等教育出版社，2006.5。