第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
建立优化的数学模型，在计算机上求得的解，就称为优 化问题的最优解，它包括：
* * 1）最优方案（最优点）： x* [ x1 , x2 , * T , xn ]
2）最优目标函数值： f ( x* ) min f ( x)
第一章 优化设计概述
绪论
二、从传统设计到优化设计：
传统设计：在调查分析的基础上，参考同类产品通过估 算、经验类比或试验等方法来确定初始方案，然后通过 计算各个参数是否能满足设计指标的要求，如果不符合 要求就凭借经验对参数进行修改，反复进行分析计算— —性能检验——参数修改，直到符合设计指标为止。 优化设计：借助计算机技术，应用一些精度较高的力 学的数值分析方法（如有限元法等）进行分析计算，并 从大量的可行设计方案中寻找到一种最优的设计方案。
2 1 2 2 1 2 2
2 F B 2 h2 得到m(h) y h
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第一节 人字架的优化设计
解析法：
dm 2 F d B 0 dh y dh h y h 解得h* B 152 cm 76cm 2 2F 代入D表达式D* 6.43cm T y 4 FB
得m*
y
8.47kg
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第一节 人字架的优化设计
作图法：
等值线（面）：函数f(x)的值依次为一系列常数ci时，变 量x取得的一系列值的集合。 •等值线越往里，函数值越小; •等值线愈稀疏说明目标函数值的变 化愈慢； •无约束时,等值线族的共同中心就是 函数的极小值。 求极值就是求等值线的中心！
第三节 优化设计问题的数学模型
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化设计的维数：设计变量的数目称为优化设计的维数，如 有n(n=1，2，…)个设计变量，则称为n维设计问题。
任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计空间：由n个设计向量为坐标所组成的实空间称作设计 空间。 一个“设计”，就是设计空间中的一个点，这个点可以看 成是设计变量向量的端点（始点是坐标原点），称这个点式 设计点。 设计空间的维数（设计的自由度）：设计变量愈多，则设计 的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度 亦愈大、求解亦愈复杂。 • 含有2—10个设计变量的为小型设计问题； • 10—50个为中型设计问题； • 50个以上的为大型设计问题。
人字架的优化设计问题归纳为 求x=[D h]T 使质量m(x)→min 满足强度约束条件 ( x) y 和稳定约束条件 ( x) e
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
FL F ( B 2 h ) 钢管所受的压力F1 h h 2 EI 压杆失稳的临界压力Fe 2 L 其中，I是钢管截面惯性矩 I
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第三节 优化设计问题的数学模型
约束条件：在优化设计中，对设计变量取值时的限制
条件，称为约束条件或设计约束，简称约束。
等式约束： h( x) 0 等式约束对设计变量的约束严格（降低设计自由度） 不等式约束： g ( x) 0 要求设计点在设计空间中约束曲面 g ( x) 0 的一侧 （包括曲面本身）
4.课堂上不许大声说话，有问题请举手或下课讨论；上课过程中，手机不
许响，响一次平时成绩扣5分。 5.上课请积极回答问题，回答问题正确平时成绩加5分，回答错误平时成绩
加1分。
绪论
优化设计是20世纪60年代初，在电子计 算机技术广泛应用的基础上发展起来的一门 新的设计方法。它是以电子计算机为计算工 具，利用最优化原理和方法寻求最优设计参 数的一门先进设计技术。
f ( x) f ( x1, x2 ,
f ( x) f ( x1, x2 , , xn ) min
, xn )
f ( x) f ( x1, x2 , , xn ) max
f ( x) f ( x1, x2 ,
, xn ) min
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第三节 优化设计问题的数学模型
绪论
三、本课程的主要内容：
机械优化设计包括： 1）建立优化设计问题的数学模型 2）选择恰当的优化方法 3）编程求解最优的设计参数
绪论
三、本课程的主要内容：
本课程的研究内容：
优化的原理与算法
本课程分为八章进行讨论：
第一章，介绍优化设计的基本概念； 第二章，介绍优化设计算法中用到的数学基础知识，为后面几章的学 习打好基础； 第三、四、五、六章分别介绍一位搜索、无约束优化、线性规划和约 束优化的原理与算法，这些都是本课程学习的重点； 第七章，介绍多目标及离散变量优化方法； 第八章，介绍几种机械优化设计的实例，说明如何应用优化方法解决 机械设计问题。
指在一定条件(各种设计因素) 影响下 所能得到的最佳设计值。 （相对概 念）
绪论
一、定义：
机械优化设计方法包括： 1)解析法: 主要是利用微分学和变分学的理论，适 应于解决小型和简单的问题； 2)数值计算方法: 使利用已知的信息，通过迭代计算来逼 近最优化问题的解，因此它的运算量很大， 直到计算机出现后才得以实现。
钢管壁厚T=0.25cm，
钢管材料的弹性模量E=2.1×105Mpa， 材料密度ρ=7.8×103kg/m3，
许用压应力σy= 420MPa。
求在钢管压应力σ不超过许用压应力σy 和失稳临界应力σe的条件下， 人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
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第一节 人字架的优化设计
绪论
四、机械优化设计的发展趋势：
1）模糊优化设计技术
2）面向产品创新设计的优化技术 3）广义优化设计技术 4）产品全寿命周期的优化设计技术 5）CAD/CAPP/CAM集成系统中的优化技术
6）智能优化算法
7）多学科综合优化
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第一节 人字架的优化设计
如图所示的人字架由两个钢管构成， 其顶点受外力2F=3×105N。 人字架的跨度2B=152cm，
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第一节 人字架的优化设计
作图法：
等值线（面）：函数f(x)的值依次为一系列常数ci时，变 量x取得的一系列值的集合。
•二维设计问题，等值线为平面曲线。 •对于三维设计问题，其等值函数是 一个面，叫做等值面； •对于n 维设计问题则为等值超越曲面。
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第一节 人字架的优化设计
单目标函数优化问题：在最优化设计问题中，可以只有一 个目标函数。 多目标函数优化问题：当在同一设计中要提出多个目标函 数时，这种问题称为多目标函数的优化问题。
f1 ( x) f1 ( x1 , x2 , , xn ) f 2 ( x) f 2 ( x1 , x2 , , xn ) f ( x) f ( x , x , , x ) q 1 2 n q
优化设计问题的数学模型的三要素：设计变量、目 标函数和约束条件。
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第三节 优化设计问题的数学模型
设计变量：
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数， 称为设计变量。
设计变量向量：
x [ x1x2
xn ]T
设计常量：参数中凡是可以根据设计要求事先给定的，称为设计常量 。 设计变量：需要在设计过程中优选的参数，称为设计变量。 连续设计变量：有界连续变化的量。 离散设计变量：表示为离散量。
由图中数据得：D*=6.43cm，h*=76cm，在极值点处m*=8.47kg
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第三节 优化设计问题的数学模型
一个优化设计问题一般包括三个部分： 1.需要合理选择的一组独立参数，称为设计变量； 2.需要最佳满足的设计目标，这个设计目标是设计变量的 函数，称为目标函数； 3.所选择的设计变量必须满足一定的限制条件，称为约束 条件（或称设计约束）。
绪论
二、从传统设计到优化设计：
优化设计与传统设计相比有以下三点特点：
• 设计的思想是最优设计，需要建立一个能够正确 反映实际设计问题的优化数学模型； • 设计的方法是优化方法，一个方案参数的调整是 计算机沿着使方案更好的方向自动进行的，从而选 出最优方案； • 设计的手段是计算机，由于计算机的运算速度快， 分析和计算一个方案只需要几秒甚至千分之一秒， 因而可以从大量的方案中选出“最优方案”。
且满足约束条件hk ( x) 0(k 1, 2,
优化问题的数学模型
min f ( x), x R n s.t.hk ( x) 0(k 1, 2, g j ( x) 0( j 1, 2, , l) , m)
约束优化问题
无约束优化问题：k=j=0
min f ( x), x Rn
1 2 2
θ
θ
L
A 2 (T D 2 ) 4 8 A是钢管截面面积A ( R 2 r 2 ) TD (R4 r 4 ) r和R分别是钢管的内半径和外半径 D=r+R而T=R-r

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第一节 人字架的优化设计
F1 F ( B h ) A TDh Fe 2 E (T 2 D 2 ) 钢管的临界应力是 e A 8( B 2 h 2 ) 钢管所受的压应力是
绪论
一、定义：
•优化设计： 根据给定的设计要求和现有的设计条件，应用专业理论 和优化方法，在计算机上满足给定设计要求的许多可行 方案中，按给定的目标自动地选出最优的设计方案。 •机械优化设计： 在满足一定约束的前提下，寻找一组设计参数，使机械 产品单项设计指标达到最优的过程。
绪论
一、定义：
机械优化设计：机械设计理论+优化方法 得到设计参数的最优值