2.梯度投影法
约束面上的梯度投影方向
四、步长的确定
1.取最优步长
2. αk取到约束边界的最大步长
1.取最优步长
2. αk取到约束边界的最大步长
1) 取一试验步长αt，计算试验点xt。
2) 判别试验点xt的位置。 3) 将位于非可行域的试验点xt，调整到约束面上。
2. αk取到约束边界的最大步长
3.计算步骤
三、 不等式约束的增广乘子法
三、 不等式约束的增广乘子法
三、 不等式约束的增广乘子法
图6-36 增广乘子法框图
第七节 非线性规划问题的线性化解法——线性逼近法
一、 序列线性规划法
二、割平面法 三、小步梯度法 四、非线性规划法
一、 序列线性规划法
6-37
二、割平面法
三、小步梯度法
1) 由设计者决定k个可行点，构成初始复合形。 2) 由设计者选定一个可行点，其余的(k-1)个可行点用随机法产生。 3) 由计算机自动生成初始复合形的全部顶点。
二、复合形法的搜索方法
1.反射 2.扩张 3.收缩 4.压缩
1.反射
1) 2) 3) 4) 计算复合形各顶点的目标函数值，并比较其大小，求出最好点L、最坏 点H及次坏点G 计算除去最坏点H外的(k-1)个顶点的中心C 从统计的观点来看，一般情况下，最坏点H和中心点C的连线方向为目标
四、非线性规划法
第八节 广义简约梯度法
一、 简约梯度法
一、 简约梯度法
二、 广义简约梯度法
二、 广义简约梯度法
三、 不等式约束函数的处理和换基问题
1.不等式约束函数的处理方法
2.基变量的选择和换基问题
1.不等式约束函数的处理方法
2.基变量的选择和换基问题
第九节 二次规划法
第十节 结构优化方法简述
图6-38 悬臂梁的最优截面形状 a)x=0mm b)x=50mm c)x=100mm d)x=150mm
图6-39 最优形状悬臂梁的 有限元网格状态
2.布局优化设计示例
图6-40 优化目标函数值随迭代次数变化曲线
2.布局优化设计示例
图6-41 优化结果与30HQ-1标准型线
2.布局优化设计示例
3) 简接方法——先把约束问题转化为无约束问题，再采用无约束
优化方法求解。
五、小结
① 降维方法——利用m个约束条件提供的方程组消去n个变量中
的m个，从而把n维优化问题转化为(n-m)个约束变量的降维无约 束优化问题。然后对此(n-m)维的无约束优化问题求解。简约梯度 法就是用梯度法求解线性等式约束优化问题的一种方法；而广义 简约梯度法(GRG)是用梯度法求解非线性等式约束和侧面约束的 非线性规划问题的一种方法。它们可以称为“约束变量的无约束 优化方法”。
五、小结
② 升维方法——对约束函数进行加权处理，使约束优化问题转化
为增广的无约束优化问题。由于引入了未知的加权因子，所以这 个新生成的增广无约束优化问题的变量数目增加了。因此，我们 称它们为“升维方法”。这类方法的基础是古典的拉格朗日乘子 法(约束函数是等式时的极值条件)和K-T条件(约束函数是不等式 的极值条件)。属于这类方法的有：SUMT法，乘子类方法，二次 规划迭代法以及优化准则法等。
2. 惩罚因子初值r0的选取
1) 取r0=1，根据试算的结果，再决定增加或减小r0的值。 2) 按经验公式
3. 惩罚因子的缩减系数c的选取
4. 收敛条件
1) 选取可行的初始点x0，惩罚因子的初值r0，缩减系数c以及收敛精度ε1、ε2。 2) 构造惩罚函数ϕ(x， r)，选择适当的无约束优化方法，求函数ϕ(x， r)的 无约束极值，得x∗(rk)点。 3) 用式(6-53)及式(6-54)判别迭代是否收敛，若满足收敛条件，迭代终止。
第二节 随机方向法
图6-4 随机方向法的算法原理
一、随机数的产生
二、初始点的选择
三、可行搜索方向的产生
四、搜索步长的确定
五、随机方向法的计算步骤
6) 若收敛条件
图6-5
第三节 复 合 形 法
一、初始复合形的形成
二、复合形法的搜索方法 三、复合形法的计算步骤
第三节 复 合 形 法
一、初始复合形的形成
1) 在没有其他信息的情况下，初始乘子向量取零向量，即λ0=0，显然，这时 增广乘子函数和外点惩罚函数的形式相同。 2) 惩罚因子的初值r0可按外点法选取。 3) 设计变量的初值x0也按外点法选取，以后的迭代初始点都取上次迭代的无 约束极值点，以提高计算效率。
2.参数选择
表6-3 乘子类方法的乘子迭代公式
图6-26 用试探法调整试验步长的框图
五、 收敛条件
2) 设计点xk满足库恩-塔克条件
六、 可行方向法的计算步骤
1) 在可行域内选择一个初始点x0，给出约束允差δ及收敛精度值ε。
2) 令迭代次数k=0，第一次迭代的搜索方向取d0=－▽ f(x0)。 3) 估算试验步长αt，按式(6-38)计算试验点xt。 4) 若试验点xt满足－ δ≤gj(xt)≤0，xt点必位于第j个约束面上，则转步 骤6)；若试验点xt位于可行域内，则加大试验步长αt，重新计算新的 试验点，直至xt越出可出域，再转步骤5)；若试验点位于非可行域， 则直接转步骤5)。
述
图6-2 间接解法框图
第二节 随机方向法
一、随机数的产生
二、初始点的选择 三、可行搜索方向的产生 五、随机方向法的计算步骤
第二节 随机方向法
随机方向法是一种原理简单的直接解法。它的基本思路是在可行域内选择一 个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使 目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向，记作d。从初始点x0出发， 沿d方向以一定的步长进行搜索，得到新点x，新点x应满足约束条件：gj(x)≤0(j=1， 2，…，m)，且f(x)＜f(x0)，至此完成一次迭代。然后，将起始点移至x，即令 x0←x。重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。 随机方向法的优点是对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单，使用方便。 由于可行搜索方向是从许多随机方向中选择的使目标函数下降最快的方向，加之 步长还可以灵活变动，所以此算法的收敛速度比较快。若能取得一个较好的初始 点，迭代次数可以大大减少。它是求解小型的机械优化设计问题的一种十分有效 的算法。
6-18 沿非线性约束面的搜索
二、产生可行方向的条件
1.可行条件 2.下降条件
1.可行条件
图6-19 方向的可行条件 a) 一个起作用的约束 b) 两个起作用的约束
2.下降条件
图6-20 方向的下降条件
图6-21
可行下降方向区
三、可行方向的产生方法
1.优选方向法 2.梯度投影法
1.优选方向法
图6-1 直接解法的搜索路线
第一节 概
间接解法是目前在机械优化设计中得到 广泛应用的一种有效方法。其特点是： 1) 由于无约束优化方法的研究日趋 成熟，已经研究出不少有效的无约束最 优化方法和程序，使得间接解法有了可 靠的基础。目前，这类算法的计算效率 和数值计算的稳定性也都有较大的提高。 2) 可以有效地处理具有等式约束的 约束优化问题。 3) 间接解法存在的主要问题是，选 取加权因子较为困难。加权因子选取不 当，不但影响收敛速度和计算精度，甚 至会导致计算失败。
机械优化设计
主编 孙靖民
第六章
第六章
第一节 概
述
第二节 随机方向法 第三节 复 合 形 法 第四节 可行方向法
第一节 概
述
求解式(6-1)的方法称为约束优化方法。根据求解方式的不同，可分为直接解法，间接 解法等。
第一节 概述ຫໍສະໝຸດ 1) 由于整个求解过程在可行域内进 行，因此，迭代计算不论何时终止，都 可以获得一个比初始点好的设计点。 2) 若目标函数为凸函数，可行域为 凸集，则可保证获得全域最优解。否则， 因存在多个局部最优解，当选择的初始 点不相同时，可能搜索到不同的局部最 优解。为此，常在可行域内选择几个差 别较大的初始点分别进行计算，以便从 求得的多个局部最优解中选择更好的最 优解。 3) 要求可行域为有界的非空集，即 在有界可行域内存在满足全部约束条件 的点，且目标函数有定义。
函数下降的方向
判别反射点R的位置
2.扩张
3.收缩
4.压缩
三、复合形法的计算步骤
1) 选择复合形的顶点数k，一般取n+1≤k≤2n，在可行域内构成具有k个顶点 的初始复合形。 2) 计算复合形各顶点的目标函数值，比较其大小，找出最好点L、最坏点H 及次坏点G。 3) 计算除去最坏点H以外的(k-1)个顶点的中心C。 4) 按式(6-17)计算反射点R，必要时，改变反射系数α的值，直至反射成功， 即满足式(6-18)。 5) 若收敛条件
图6-42 固支板的初始均匀布肋
2.布局优化设计示例
图6-43 固支板的最优布肋
五、小结
1) xk+1=xk+αkdk(搜索格式)
2) xk+1=xk+Δxk(替换格式) 3) xk+1=ckxk(收敛格式) 1) 直接方法——以约束条件为界面，形成一个解的可行域，在可 行域范围内直接采用无约束优化方法求解。 2) 线性逼近法——把非线性函数在现行点线性化，采用较成熟的 线性规划方法，如修正单纯形法求解。
五、小结
表6-4 数学模型与数学规划法类别对应表
第十一节 遗传算法简述
近年来，发展了一种模拟生物进化的优化方法，称为“遗传算法(Genetic Algorithm,GA)”。它是在1975年由美国教授J.Holland提出的一种人工智能方法。它是在计 算机上按生物进化过程进行模拟的一种搜索寻优算法。 我们在介绍随机方法时，提到了可以通过计算机产生一个随机数列作为一个可行的初 始方向(一个向量)。然后按一定条件在搜索空间内对函数进行寻优。类似地，按照遗传算 法的思路，它是把函数的搜索空间看成是一个映射的遗传空间，而把在此空间进行寻优搜 索的可行解看成是一个向量染色体(个体)组成的集合(群体)。染色体(chromosome)是由基 因(gene)(或称元素)组成的向量。 运算过程就是调整字符串的编码。每一次字符串的调整就是一次基因的调整，也是一 次染色体所代表的可行解的调整和转换。通过这样的调整，则前后两个字符串就相互交叉 组合而构成两个新的染色体。 上述的染色体基因的调整变换或基因重组过程称为“杂交或交叉”过程。这一步称为“变 异”。变异是一个基因重组过程。 这样来说，可以把对不同的染色体群体进行最佳选择的匹配。选择匹配的目的是为了 获得最佳的最优搜索效果，即获得能使目标函数达到最佳值的染色体群体(最佳可行解)。