第十七讲行程问题我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t)、速度（v)和路程（s)这三个基本量，它们之间的关系如下：（1)速度×时间=路程可简记为：s = vt（2)路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v（3)路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.相遇问题：速度和×相遇时间=路程和S V t=⨯和和追及问题：速度差×追及时间=路程差S V t=差差对于上面的公式大家已经不陌生了，在下面的学习中我们将和小朋友们一起复习回顾以前的相关知识，而后拓展提高！〖经典例题〗例1、甲、乙两人从A、B两地同时出发，相对而行.如果两人按原来的速度前进，那么4小时后相遇；如果两人各自都比原定速度提高1千米／小时，那么他们经过3小时就相遇，则A、B两地的距离是多少千米？分析：加速后3小时多走了2×3=6(千米)，这正好是加速前第四小时走的路程，所以按原速度两人1小时共走6千米，A、B两地相距6×4=24(千米).例2、A、B两村相距2800米，小明从A村出发步行5分钟后，小军骑车从B村出发，又经过10分钟两人相遇，已知小军骑车比小明步行每分钟多行130米，小明每分钟行多少米？分析：相遇时，小明行驶了5＋10=15分钟，小军行驶了10分钟．小军骑车比小明步行每分钟多行130米，那么10分钟小军就比小明多行驶了130×10=1300米，也就是如果小军和小明的速度一样的话，小明和小军可以行驶2800－1300=1500米，相当于小明行驶了15＋10=25分钟，从而可以求出小明的速度：1500÷25=60米/分。
〖方法总结〗这两个题目都告诉两人的速度差，这样根据多去少补就可以求出一个人的速度，从而得解。
〖巩固练习〗练习1：大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？练习2：甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇。
已知小轿车比大客车每小时多行20千米，问：大客车每小时行多少千米？〖经典例题〗例3、骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？分析：这道题没有出发时间，没有甲、乙两地的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设A，B两人同时从甲地出发到乙地，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到乙地时，A距乙地还有10×2=20（千米)，这20千米是B从甲地到乙地这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米)，所以B从甲地到乙地所用的时间是20÷（15-10)=4（时).由此知，A，B是上午7点出发的，甲、乙两地的距离是15×4=60（千米).要想中午12点到，即想（12-7=)5时行60千米，速度应为60÷（12-7)=12（千米/时).例4、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地，如果他从甲地先骑自行车21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地，问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？分析：第二种走法如果先骑摩托车8小时，再骑自行车21小时，也同样恰好到达乙地，第一种走法与第二种走法比较，摩托车多行了12-8=4小时，这样自行车就少行了21-9=12小时，即摩托车4小时行的路程等于自行车12小时行的路程，摩托车1小时行的路程相当于自行车12÷4=3小时行的路程，将第一种走法和第二种走法中自行车的时间用摩托车来替换即可求解，所以列式为：（12-9)÷（12-8)=3（小时)，12+9÷3=15（小时)或21÷3+8=15（小时)〖方法总结〗将例3稍做改动，就变成了追及问题中的典型题目，然后可以利用“笨鸟先飞”的技巧来解题，这个思想在很多题目都有应用，因此在熟悉了基本题型后，还要学会转化。
例4中题目从甲到乙有两种不同的方式，这时我们要通过比较来找到彼此的关系。
〖巩固练习〗练习1：某人从甲地到乙地骑自行车每小时行20千米,回来时骑摩托车每小时行45千米,骑摩托车比骑自行车的时间少5小时,求甲乙两地间的路程是多少千米?分析:根据骑摩托车比骑自行车花费的时间少5小时,以及骑自行车的速度可求出当骑摩托车到达终点时,骑自行车还差的路程(可看成路程差).已知骑自行车与骑摩托车的速度可求出速度差,再根据路程差与速度差求出骑摩托车行驶的时间.最后用摩托车的速度×行驶时间=甲、乙的路程.于是,甲乙两地的路程为：20×5÷（45-20)×45=180（千米)练习2：小明从家到学校上课，开始每分钟走50米，走了2分钟。
这时他发现，若根据以往的经验，再按照这个速度走下去，将要迟到2分钟。
于是他立即加快了速度，每分钟多走10米，结果早到了2分钟。
小明家到学校有多远？练习3：某人要到 60千米外的农场去，开始他以 6千米／时的速度步行，后来有辆速度为18千米／时的拖拉机把他送到了农场，总共用了6时.问：他步行了多远？分析：求步行路程，而且步行速度已知，我们需要求步行时间.如果6小时全部乘拖拉机，可以行进：18×6=108（千米)，其中，108-60=48（千米)，这48千米的距离是在某段时间内这个人在行走而没有乘拖拉机因此少走的距离，这样我们就可以求出行走的时间为：48÷（18-6)=4（小时)，即这个人走了4个小时，距离为：6×4=24（千米)，即这个人步行了24千米.另外本题通过画矩形图将会更容易解决：其中矩形的长表示时间，宽表示速度，由路程=速度×时间可知，矩形的面积表示的是路程，通过题意可以知道阴影部分的面积等于60，大矩形的面积为18×6=108，所以小矩形的面积为：108-60=48，又因为小矩形的宽为18-6=12，所以小矩形的长为：48÷12=4，所以“？”处矩形的面积为4×6=24（千米)，“？”表示的是步行的路程，即步行的路程为24千米.〖经典例题〗例5、一天唐僧师徒走的很口渴，于是让八戒去找水，那时是上午8时8分，8分钟后，孙悟空发现八戒忘记拿钵盂了，于是驾筋斗云去追他，在离休息处4千米的地方追上他．然后悟空立刻回去，到后怕八戒偷懒又立刻回头去追猪八戒，再追上他的时候，离休息处恰好是8千米．问这时是几时几分?分析 ：对于复杂的行程问题，分析清楚过程是关键BA O8千米4千米孙悟空猪八戒如图，猪八戒与孙悟空第一次相遇在A ，此时两人都走了4千米，而孙悟空少用8分钟．之后两人又在B 相遇，此时猪八戒走了8千米，孙悟空走了16千米，孙悟空比猪八戒还是少用8分钟．对于两次相遇进行比较，可以求出孙悟空的速度，整个问题随即也就被解决了． 首先，在从O 到A 的过程中，猪八戒所用时间比孙悟空多用8分钟；其次，在从A到B的过程中，猪八戒走了4千米，而孙悟空走了4+8=12千米．所以得出结论：孙悟空的速度是猪八戒速度的12÷4=3倍．因为二人的速度是3倍的关系，所以在从O到A的4千米路程中，猪八戒用时是孙悟空的3倍．另一方面，猪八戒又比孙悟空多用时8分钟，所以根据差倍问题的公式，孙悟空行完4千米用时8÷(3-1)=4分钟，孙悟空速度为每分钟1千米．孙悟空速度是猪八戒的3倍，猪八戒速度为每3分钟1千米．猪八戒从0点到B点用时8×3=24分钟，所以猪八戒与孙悟空在B相遇的时间为8时32分．例6、甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离．分析：画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．〖方法总结〗在学习行程问题的过程中，一定要学会画图，通过图上路程之间的关系找到速度或者时间之间的关系，然后再根据题目进行分析求解。
〖巩固练习〗练习1：甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？分析：教师注意帮助学生画图分析.从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程.已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行（70—60 =)10千米，120÷10 = 12（小时)，说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时.那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是（60 + 70)×6 = 780（千米)练习2：上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？分析：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米).而爸爸骑的距离是4＋ 8＝ 12（千米).这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍).按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米).但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米).少骑行24-16＝8（千米).摩托车的速度是8÷8=1（千米/分)，爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分.练习3：甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，A、B之间的距离是多少？分析：甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，从上图可以看出：它们到第二次相遇时共走了3个AB全程，因此，我们可以理解为乙车共走了3个64千米，再由上图可知：减去一个48千米后，正好等于一个AB全程. AB间的距离是64×3－48＝144（千米).练习4：小冬从甲地向乙地走,小青同时从乙地向甲地走,当各自到达终点后,又立刻返回,行走过程中,各自速度不变,两人第一次相遇在距甲地40米处,第二次相遇在距乙地15米处.甲乙两地的距离是多少米？〖经典例题〗例7、甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从A 地,丙一人从B地同时相向出发,丙遇到乙后2分钟又遇到甲,A、B两地相距多少米？分析：丙遇到乙后此时与甲相距（50＋70)×2=240米，也是甲乙的路程差，所以240÷（60－50)=24分，即乙丙相遇用了24分钟，A、B相距（70+60)×24=3120米．例8、张、李、赵三人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米；赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时到达乙地．那么赵追上李的时间是几时?分析：赵追上李是追及问题，但是赵的速度我们并不清楚，这需要从赵、张同时到乙地来计算．本题的解题过程分三步．第一步：求出甲、乙两地距离．张早上6时出发，晚上6时到，用12小时，每小时5千米，所以甲、乙两地相距5×12=60千米．第二步：求出赵的速度．赵早上8时出发，晚上6时到，用10小时，走了60千米，每小时走60÷10=6千米．第三步：追及问题．赵出发时，李已出发2小时，此时与甲地相距4×2=8千米，赵追上李用8÷(6-4)=8÷2=4小时．所以，赵追上李是上午12时．〖方法总结〗这两个题是三个人的行程问题，不管是几个人的行程问题，我们都要从两个人的问题去分析，不过在这里，像例16，我们要能够将乙比甲多走240米的时间转化为乙丙的相遇时间。