6.4数据的离散程度（解析）知识精讲极差一组数据中最大值与最小值之间的差极差= 数据中的最大值– 最小值方差（1）方差是各个数据与其算术平均数的差的平方和的平均数（2）反映组内个体间的离散程度①基本公式：2222121[()()()]nS x x x x x xn=-+-++-②简化公式：22222121[()]nS x x x nxn=+++-标准差（1）方差的算术平方根（2）反映组内个体间的离散程度计算公式：2222121[()()()]nS S x x x x x xn==-+-++-一组数据：x1、x2、x3方差：5一组数据：x1-1、x2-1、x3-1方差：5一组数据：2x1-1、2x2-1、2x3-1方差：22×5=20一组数据：ax1+b、ax2+b、ax3+b方差：a2×5=5a2三点剖析一．考点：方差、标准差、极差．二．重难点：方差、标准差、极差三．易错点：方差的计算公式，标准差与方差之间的关系．方差，标准差，极差例题1、若一组数据﹣1，0，2，4，x的极差为7，则x的值是（）A.﹣3B.6C.7D.6或﹣3【答案】D【解析】∵数据﹣1，0，2，4，x的极差为7，∴当x是最大值时，x﹣（﹣1）=7，解得x=6，当x 是最小值时，4﹣x=7， 解得x=﹣3， 故选：D ．例题2、 在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是（ ） A.平均数是5 B.中位数是6 C.众数是4 D.方差是3.2 【答案】 B【解析】 A 、平均数3446855++++==，此选项正确；B 、3，4，4，6，8中位数是4，此选项错误；C 、3，4，4，6，8众数是4，此选项正确；D 、方差22221[(35)(45)(85)] 3.25S =-+-+⋯+-=，此选项正确。

例题3、 已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为2，则x 1－2，x 2－2，x 3－2，x 4－2，x 5－2的方差是________． 【答案】 2【解析】 ∵数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为2， ∴x 1－2，x 2－2，x 3－2，x 4－2，x 5－2的方差是2．例题4、 已知数据1x ，2x ，3x 的方差为5，则数据121x -，221x -，321x -的方差为________ 【答案】 20【解析】 根据方差的意义分析，数据都加-1，方差不变，原数据都乘2，则方差是原来的4倍．∵样本1x ，2x ，3x 的方差是215S =，则样本121x -，221x -，321x -的方差为2221420S S ==． 例题5、 小丽计算数据方差时，使用公式2222221[(5)(8)(13)(14)(15)]5S x x x x x =-+-+-+-+-，则公式中x =________．【答案】 11【解析】 ∵2222221[(5)(8)(13)(14)(15)]5S x x x x x =-+-+-+-+-，∴58131415115x ++++==．例题6、 某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选一名参加“汉字听写”大赛，选拔中每名学生的平均成绩_x 及其方差s 2如表所示，如果要选拔一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ）A.甲B.乙C.丙D.丁 【答案】 B【解析】 根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙随练1、 现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高为170cm ，方程分别是S 甲2、S 乙2，且S甲 乙 丙 丁 8.9 9.5 9.5 8.9 s 2 0.920.921.011.03甲2＞S 乙2，则两个队的队员的身高较整齐的是（ ） A.甲队 B.乙队 C.两队一样整齐 D.不能确定 【答案】 B【解析】 根据方差的意义，方差越小数据越稳定；因为S 甲2＞S 乙2，故有甲的方差大于乙的方差，故乙队队员的身高较为整齐． 随练2、 下列统计量中，能够刻画一组数据的离散程度的是（ ） A.方差或标准差 B.平均数或中位数 C.众数或频率 D.频数或众数 【答案】 A【解析】 由于方差和极差反映数据的波动情况，所以能够刻画一组数据离散程度的统计量是方差或标准差．随练3、 如果一组数据6、7、x 、9、5的平均数是2x ，那么这组数据的方差为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】 A【解析】 根据题意，得：679525x x ++++=，解得：x ＝3，则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，所以这组数据的方差为()()()()()222221667636965645⎡⎤⨯-----⎣⎦++++＝．随练4、 某排球队6名场上队员的身高（单位：cm ）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm 的队员换下场上身高为192cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）A.平均数变小，方差变小B.平均数变小，方差变大C.平均数变大，方差变小D.平均数变大，方差变大 【答案】 A【解析】 原数据的平均数为1801841881901921941886+++++=，则原数据的方差为 ()()()()()()222222168[180188184188188188190188192188194188]63⨯-+-+-+-+-+-=， 新数据的平均数为1801841881901861941876+++++=，则新数据的方差为 ()()()()()()222222159[180187184187188187190187186187194187]63⨯-+-+-+-+-+-=，所以平均数变小，方差变小．随练5、 如果数据x 1，x 2，…，x n 的方差是3，则另一组数据2x 1，2x 2，…，2x n 的方差是（ ）A.3B.6C.12D.5 【答案】 C【解析】 ∵一组数据x 1，x 2，x 3…，x n 的方差为3， ∴另一组数据2x 1，2x 2，2x 3…，2x n 的方差为22×3=12．随练6、 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全县中学生数学竞赛，每个月对他们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图． （1）分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差；（2）如果你是他们的辅导教师，应选派哪一名学生参加这次数学竞赛．请结合所学统计知识说明理由．【答案】 （1）=80x 甲；=80x 乙；S 2甲＝70；S 2乙＝50 （2）选乙参加，理由见解析【解析】 （1）根据折线图的数据可得：1=5x 甲（65＋80＋80＋85＋90）＝80，1=5x 乙（70＋90＋85＋75＋80）＝80，S 2甲＝15（225＋25＋100）＝70，S 2乙＝15（100＋100＋25＋25）＝50；（2）分析可得：甲乙两人成绩的平均数相等，但乙的成绩方差小，故比较稳定，选乙参加．课后练习1、 已知两组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5和a 1－1，a 2－1，a 3－1，a 4－1，a 5－1，下列判断中错误的是（ ）A.平均数不相等，方差相等B.中位数不相等，标准差相等C.平均数相等，标准差不相等D.中位数不相等，方差相等 【答案】 C【解析】 因为两组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5和a 1－1，a 2－1，a 3－1，a 4－1，a 5－1， 它们的平均数不同，方差相等，中位数不同，标准差相等．2、 若一组数据2，4，6，8，x 的方差比另一组数据5，7，9，11，13的方差大，则 x 的值可以为（ ） A.12 B.10 C.2 D.0 【答案】 A【解析】 5，7，9，11，13，这组数据的平均数为9，方差为S 12=15×（42+22+0+22+42）=8；数据2，4，6，8，x 的方差比这组数据方差大，则有S 22＞S 12=8，当x=12时，2，4，6，8，12的平均数为6.4，方差为15×（4.42+2.42+0.42+1.62+5.62）=11.84，满足题意3、 初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据遮盖，如图：那么被遮盖的两个数据依次是（ ）编号 12345方差 平均成绩 得分 38 34 ■ 37 40■37A.35；2B.36；4C.35；3D.36；3【答案】B【解析】∵这组数据的平均数是37，∴编号3的得分是：37×5－（38＋34＋37＋40）＝36；被遮盖的方差是：222221[(3837)(3437)(3637)(3737)(4037)]45-+-+-+-+-=．4、某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙10次，每次射耙的成绩情况如图所示：（1）请将下表补充完整：（参考公式：方差2222121[()()...()]nS x x x x x xn=-+-++-）（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看，________的成绩好些；②从平均数和中位数相结合看，________的成绩好些；③若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）①甲；②乙；③乙；见解析【解析】（1）甲的方差222221[(97)(57)4(77)2(87)2(67)] 1.210⨯-+-+⨯-+⨯-+⨯-=乙的平均数：（2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10）÷10＝7，乙的中位数：（7＋8）÷2＝7.5，填表如下：（2）①从平均数和方差相结合看，甲的成绩好些；②从平均数和中位数相结合看，乙的成绩好些；③选乙参加．理由：综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更平均数方差中位数甲7________7乙________ 5.4________平均数方差中位数甲7 1.27乙7 5.47.5多，成绩逐步上升，提高潜力大，更具有培养价值，应选乙．5、甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）.根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是_______（填“甲”或“乙”）【答案】甲【解析】本题考查了方差，乙的8次成绩为5，9，6，8，6，8，8，6；甲的8次成绩为6，7，7，8，5，9，5，9，∴s2乙＝74,s2甲＝94，∴8次射击中成绩比较稳定的是甲.6、现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名.与调整前相比，该工程队员工月工资的方差________（填“变小”，“不变”或“变大”）【答案】变大【解析】变化前每月工资数据为5个7000，4个6000，5个5000，变化后每月工资数据为6个7000,2个6000,6个5000，因为两组数据的平均数均为6000，明显变化后数据的波动较大，方差较大，所以调整后的该工程队员工月工资的方差变大.7、甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图．根据以上信息，整理分析数据如下：队员平均/环中位数/环众数/环甲7b7乙a7.5c（1）写出表格中的a、b、c的值；（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．【解答】解：（1）a=（3+6+4+8+7+8+7+8+10+9）=7，b=7，c=8；（2）S甲2=×[（5﹣7）2×1+（6﹣7）2×2+（7﹣7）2×4+（8﹣7）2×2+（9﹣7）2×1]=1.2，则S甲2＜S乙2，∴甲队员的射击成绩较稳定．8、某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：第1次第2次第3次第4次第5次小王60751009075小李70901008080根据上表解答下列问题：（1）完成下表：姓名平均成绩（分）中位数（分）众数（分）方差小王807575190小李848080104（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．【解答】解：（1）小李的成绩：70、80、80、90、100，∴平均成绩为：（70+80+80+90+100）÷5=84分，众数为：80，中位数是80分；方差为：[（70﹣84）2+（80﹣84）2+（80﹣84）2+（90﹣84）2+（100﹣84）2]÷5=104，故答案为：84，80，80，104．（2）∵小王的方差是190，小李的方差是104，而104＜190，∴小李成绩较稳定；小王的优秀率为×100%=40%，小李的优秀率为×100%=80%；（3）选小李参加比赛比较合适，理由是：小李的成绩较小王稳定，且优秀率比小王的高，因此选小李参加比赛比较合适．。