6.4.1 数据的离散程度
一、教学目标
1.理解极差、方差、标准差的概念、意义并掌握其计算方法.
2.会计算一组数据的方差.
3.能利用极差、方差、标准差分析数据，做出决策.
二、教学重难点
重点:极差、方差和标准差概念的理解.
难点:应用方差和标准差分析数据,并作出决策.
三、教法与学法
的异同.归纳总结,根据不同的已知条件选择不同的分析方法.
学法:通过课堂讨论和练习掌握新知识.
四、教学过程
（一）问题探究
问题一：为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.
某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也相近.
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，质量（单位：g）如下：甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74 74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75 80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
（1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量吗？
（2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图上画出表示平均质量的直线.
甲、乙两厂被抽鸡腿的平均质量约为75 g.
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？
解：甲厂：最大值78 g，最小值72 g，相差6 g；
乙厂：最大值80 g，最小值71 g，相差9 g；
(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂家的鸡腿？
解：平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能反映个体的变化情况.从图中看,甲厂的产品更符合要求.
现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况.极差就是刻画数据离散程度的一个统计量.
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.
如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，它们的质量数据如图：
(1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少?
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距?分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿的质量与其相应平均数的差距.
(3)在甲、丙两厂中,你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求?为什么?
g，极差=7972=7 g.
【解】x
丙
因为极差也容易受到极端值的影响,为了更好地体现数据的波动情况,我们引进了方差. （二）概念解析
方差是各个数据与平均数差的平方的平均数,即s2=1
[(x1x)2+(x2x)2+…+(x n x)2]
n
而其中,x是x1,x2…,x n的平均数,s2是方差.
标准差就是方差的算术平方根.
一组数据方差越大,说明这组数据的离散程度越大.当两组数据的平均数相同或差异比较小时,可用方差来比较这两组数据的离散程度.
求方差的步骤为:
(1)求平均数;
(2)求偏差;
(3)求偏差的平方和;
(4)求平方和的平均数.
（三）典例解析
例1：计算出从甲厂抽取的20只鸡腿质量的方差.
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74 74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
解：甲厂20只鸡腿的平均质量:
甲厂20只鸡腿质量的方差:
做一做：
（1）计算出从丙厂抽取的20只鸡腿质量的方差？
（2）根据计算的结果，你认为甲、丙两厂的产品哪个更符合规格？
使用计算器说明：
1.打开计算器，依次按以下键进入统计状态.
2.按键输入数据2,3,4：
3.进入统计计算指令：
按
则显示该组数据的平均数；
按
则显示该组数据的标准差.
（四）课堂演练
1.样本方差的作用是（）
C.准确表示总体的波动大小
D.表示样本的波动大小
2.一组数据2,0,1,x,3的平均数是2，则这组数据的方差是( )
A. 2
B. 4
C. 1
D. 3
3.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A.甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
x1，x2，x3，…，x n的方差是1，那么样本2x1＋3,2x2＋3,2x3＋3，…，2x n＋3的方差是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下：
（1）填写下表：
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分，乙的成绩比甲好；
从方差看，s2甲，s2乙=34，甲的成绩比乙相对稳定；
从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样好；
从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.
（五）课堂小结
本节课主要学习了:
1.刻画数据离散程度的统计量.
用方差与标准差可表示出一组数据与其平均值的离散程度、稳定性.方差越小,稳定性越好.注意:用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果.
(1)极差:一组数据中最大数据与最小数据的差.
(2)方差:各个数据与平均数的差的平方的平均数.
s2=1
[(x1x)2+(x2x)2+…+(x n x)2]
n
其中,x是x1,x2,…,x n的平均数,s2是方差.
(3)标准差是方差的算术平方根.
2.求方差的步骤:
(1)求平均数;
(2)求偏差;
(3)求偏差的平方和;
(4)求平方和的平均数.
（六）布置作业
教材习题6.5.
五、板书设计
6.4.1数据的离散程度
六、教学反思
统计学是数学中与生活息息相关的一门学科,教师在授课过程中可以举一些生活实例,激发学生学习兴趣,使学生明白,仅仅知道数据的集中趋势——平均数是不够的,还要学习用方差与标准差表示出一组数据与其平均值的离散程度,从而作出决策.。