一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）AB ．2CD ．52．已知复数z x yi =+，x ∈R ，y R ∈，满足114z z ++-=，则点()x y ，的轨迹是（ ） A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．椭圆3．已知复数z 满足：121z i z ++=-，则z 的最小值是（ ） A ．1BC．2D4．设复数z满足：22zi=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A．((421i -B．((421i + C．((421i +D．((421i +5．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ）A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --6．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．1-D ．i -7．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -8．对于复数z a bi =+（,,a b R ∈i 为虚数单位），定义||||z a b =+‖‖，给出下列命题：①对任何复数z ，都有0z ≥‖‖，等号成立的充要条件是0z =；②z z =‖‖‖‖：③若12z z =，则12=±z z ：④对任何复数1z 、2z 、3z ，不等式131223z z z z z z -≤-+-恒成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --10．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（ ） A ．3322i + B ．1322i - C ．3322i - D ．1322i + 11．已知复数2(1)(1)z m m i =--+,其中m R ∈.若z 是纯虚数，则m = A ．1B ．1-C ．1或1-D ．012．在复平面内，复数3i12i+在复平面中对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z 的共轭复数z ＝________． 14．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 15．若复数()()()1212i i z i --=+，则z =______.16．213i(3i)-+化简后的结果为_________． 17．设m R ∈，复数22235(23)z m m m m i =--+--，当m =_________时，z 为纯虚数. 18．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________ 19．若实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，则x y += __________． 20．已知复数213(3)2z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）． （1）若,求的值；（2）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围.三、解答题21．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.22．已知复数()()22326z m m m m i =+++-- ，则当实数m 为何值时，复数z 是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）对应的点在第三象限． 23．计算：（1）)()22245ii +（2）211x dx --的值．24．已知复数1(4)z a i =-+，2z a ai =-（a 为实数，i 为虚数单位），且12z z +是纯虚数．（1）求复数1z ，2z ；（2）求12z z 的共轭复数．25．实数m 取什么数值时，复数()2212z m m m i =-+--分别是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？ 26．已知复数2z i =-(i 为虚数单位). （1）求复数z 的模z ； （2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=， 结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．D解析：D 【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z 对应的点在某一椭圆上． 【详解】复平面上，复数z 满足114z z ++-=， 则z 对应的点M 到点()11,0F -，点()21,0F 的距离和为4， 即12124,24MF MF F F +==<， ∴复数z 对应的点M 在以12,FF 为焦点，长轴长为4的椭圆上． 故选：D ．【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．3．C解析：C 【分析】设(),,z x yi x y R =+∈,再根据121z i z ++=-求出,x y 满足的方程,根据复数的几何意义求解z 的最小值即可. 【详解】设(),,z x yi x y R =+∈,因为121z i z ++=-,故()121x y i x yi +++=-+,故()()()2222121x y x y +++=-+,即10x y ++=.故z 在复平面内的轨迹是直线10x y ++=.又z 的几何意义为z 到复平面原点的距离,故其最小值为原点到10x y ++=的距离2d ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义运用,需要根据题意设(),,z x yi x y R =+∈再列式求解对应的轨迹方程.属于中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】直接利用复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为22zi=-+，所以()()((22421z i i =+=+ 故选C. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，属基础题.5．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-，则：()1222212i i z i i z i i--===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 7．C解析：C 【解析】113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 8．C解析：C 【分析】在①中，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0；在②中，z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，从而‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立． 【详解】由复数z ＝a +bi （a 、b ∈R ，i 为虚数单位），定义‖z ‖＝|a |+|b |，知： 在①中，对任何复数，都有‖z ‖≥0，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0， ∴等号成立的充要条件是z ＝0，故①成立；在②中，∵z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，∴‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |，故②成立； 在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，‖z 1‖＝‖z 2‖，但z 1≠±z 2，故③错误； ④对任何复数z 1，z 2，z 3，设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，z 3＝a 3+b 3i ， 则‖z 1﹣z 3‖＝|a 1﹣a 3|+|b 1﹣b 3|，‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖＝|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|， |a 1﹣a 3|≤|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|， |b 1﹣b 3|≤|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|，∴‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．故④成立． 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．9．B解析：B 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由(12)5z i +=，得55(12)1212(12)(12)i z i i i i -===-++-， 12z i ∴=+.故选B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．B解析：B 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【详解】 ：，∴（1-i ）（1+i ）z=（1-i ）（1+2i ），化为2z=1+3i ，∴1322z i =+ ． 则z 的共轭复数为，故选B ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得到关于m 的方程组，求解方程组即可求得实数m 的值. 【详解】复数()()211z m m i =--+是纯虚数，则：()21010m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩，据此可得：1m =.本题选择A 选项. 【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.12．A解析：A 【解析】 复数()()()3123631212125i i i i i i i ⨯-+==++-，它在复平面内对应的点的坐标为63,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故对应的点在第一象限 故选A二、填空题13．1＋i 【分析】先求出复数的模长把已知登时变形然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数求出即可【详解】因为所以则故答案为【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数模长和共轭复数的概念解题的关键是解析：1＋i 【分析】i 的模长，把已知登时变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 即可.【详解】 因为()12i z i +==，所以211z i i==-+，则，故答案为1i +. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模长和共轭复数的概念，解题的关键是求出z ，是基础题．14．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题【解析】 【分析】由余弦定理可得12||Z Z +，12||Z Z -=12121212||||||z z z z z z z z ++==-- 【详解】如图在三角形OAC中由余弦定理得12||||Z Z OB +=同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -==+-⨯⨯⨯︒=，∴12121212||19133||||77z z z z z z z z ++===--. 故答案为：1337【点睛】本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．15．【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则求出即可求出【详解】复数故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的求法复数代数形式的乘除运算法属于容易题 2【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则求出1z i =--，即可求出z ． 【详解】 复数()()()()()()()222121312221313265511212121212145i i i i i i i i i i i i z i i i i i i i ------+---+--=======--++++--，22(1)(1)2z ∴=-+-=．2 【点睛】本题主要考查了复数的模的求法，复数代数形式的乘除运算法，属于容易题．16．【解析】【分析】先对分母进行化简然后再用复数的除法进行运算【详解】【点睛】本题主要考查复数的乘与除两方面的运算知识需注意公式的准确使用解析：134--【解析】 【分析】先对分母()23i +进行化简，然后再用复数的除法进行运算。