解直角三角形及其应用♦课前热身1. 图1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图•其中地面的水平线，Z ABC=150 ,BC 的长是8 m 则乘电梯从点沿着长方体的表面从点 A 爬到点B,需要爬行的最短距离是（）3.如图3,先锋村准备在坡角为:的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那5.如图5,在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m 如果在坡度为0.75的山坡上种树, 也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为（）A. 5m B . 6m C . 7m D . 8mA.B. 4 mC .4.3 mD. 8 m 5，一只蚂蚁如果要2.如图 2,长方体的长为15,宽为10,高为2 0 ,点B 离点 C 的距离为 AB CD 分别表示一楼、二楼 B 到点C 上升的高度h 是（）25 C. 10 .55 D. 35么这两树在坡面上的距离 AB 为（）A. 5cos ：B.C. 5sin ：D.5cos ：54.如图 4，在 RtA ABC 中，/ACB =90°,BC =1,则下列结论正确的是（A.)1B. tan A=—C. cosB .3D. tan B =、3B图4【参考答案】1. BCE【解析】过点B作直线AB的垂线，，垂足为E,在Rt△ BCE中，sin / CBE= ，即BCh 1sin3 0° = ，所以h=4m.【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利8 2用已知锐角的正弦关系解答即可•本题还可以利用“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”来求解•2. B【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点B,较短爬行路线有以下4条（红色线段表示）.计算可知最短的是第2条.【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论53.B【解析】利用锐角三角函数解答，在以AB为斜边的直角三角形中，cos ，所AB5以AB= .【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系.cos-4.D【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知/ A=30°,Z B=60°,对照30°、60°的三角函数值选择正确答案.【点评】熟记特殊角30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出AC,然后根据锐角三角函数定义判断.5.A【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在这里设铅直高度为h米，则有h:4=0.75 , h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离为・ 32 42=5m.【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上，通过直角三角形的知识来解答♦考点聚焦1 •掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点.2 •了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，？怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点.♦备考兵法正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，？工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键.注意：(1)准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角.(2)将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形.(3)在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，？从而转化为解直角三角形的问题.♦考点链接1 •解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_________________ 叫做解直角三角形.2•解直角三角形的类型已知_______ .____ ;已知 _____________________3.如图(1)解直角三角形的公式：(1) _____________________________ 三边关系： .(2) _______________________ 角关系：/ A+Z B= ,(3)边角关系：sinA=___ , sinB= ___ , cosA= _______cosB= ___ , tanA= _____ , tanB= ____4•如图(2)仰角是_________________ ,俯角是_______________ .5.如图（3）方向角：0A _______ , OB _______ , OC ________ , OD ________6._________________________________ 如图（4）坡度：AB的坡度i AB= ____ , Z a 叫 , tana = i = _________________________________ •♦典例精析 例1（安徽省）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整成60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 __________ m .【答案】2（,3 - ,2）（约0.64 ）.【解析】涉及知识点有锐角三角函数的应用 .4m 的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当 梯子搭在墙上与地面成 45°的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4X sin45 ° =2 ... 2，当梯 子搭在墙上与地面成 60°的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4X sin60 ° =2 •_ 3 .则梯子的 顶端沿墙面升高了 2（・3 - 2）（约0.64 ） m.【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形， 利用锐角三角函数或勾股定理解答即可 •例2 （山东临沂）如图，A , B 是公路I （I 为东西走向）两旁的两个村庄， A 村到公路I 的距离AC=1km B 村到公路I 的距离BD=2km B 村在A 村的南偏东45°方向上. （1）求出A , B 两村之间的距离；（2 ）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）.北（图2） （图3） （图4）AC东【分析】（1）设AB与CD的交点为0,那么三角形A0C和BOD是两个等要直角三角形，根据A B到公路的距离，利用勾股定理计算AO B0进而计算AB的长度.或者以AB为斜边构造直角三角形解答•（2）作AB的垂直平分线，与公路I的交点即为所求•【答案】解：（1）方法一：设AB与CD的交点为0根据题意可得N A二NB=45°.-△ ACO和厶BDO都是等腰直角三角形.AO 二、2 , BO = 2、2 •.A B 两村的距离为 AB =AO B^ 2 22 =3、2 (km ).方法二：过点B 作直线I 的平行线交 AC 的延长线于E . 易证四边形CDBE 是矩形，CE =BD =2 .在 RtA AEB 中，由 N A = 45° 可得 BE = EA = 3 . 二 AB =~+ 3 =3^2 （ km ）.A B 两村的距离为3& km.（2 ）作图正确，痕迹清晰.1作法：①分别以点 A B 为圆心，以大于AB 的长为2半径作弧，两弧交于两点M, N , 作直线MN ;②直线MN 交I 于点P ，点P 即为所求.【点评】（1）点到线的距离是垂线短的长，所以图形中就包含了直角三角形，然后利用勾股定理计算便是•本题也可以利用锐角三角函数计算 • （2） “到线段两个端点的距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础 ♦迎考精练 、选择题1.（山东泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东 60°方向走又测得AC =50米，则小岛B 到公路I 的距离为（ ）米.2题了 5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A 、C 两地的距离为A.3 km 3B.5^km3 C. 5.2kmD.5.3km2.（山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路l 的距离，在A 点测得N BAD =30° ,在C 点测得N BCD =60° ,、填空题1.（四川遂宁） 如图，已知△ ABC 中, AB=5cm BC=12cm AC=13cm 那么 AC 边上的中线 BD 的长为 _cm.3（湖南益阳）如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到厶 A B C ,使点B ■与 C 重合，连结 A B ，则tan. ABC •的值为4.（山东济南） 如图，/ AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则是 __________ .//AO第题图5.（山东泰安） 如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , / Av/ B,沿△ ABC 的中线 CMW^ CMA折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为A. 25B. 25.3C.100 .3D. 25 25 J32.（浙江宁波）如图，在坡屋顶的设计图中,AB 二AC ，屋顶的宽度 I 为10米，坡角为35°，则坡屋顶高度 h 为 _________ 米.（结果精确到0.1米）cos / AOB 的值C6.（湖南衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2^5米，则这个坡面的坡度为____________ .7.（湖北孝感）如图，角:-的顶点为0,它的一边在x轴的正半轴上，另一边0A上有一点P（3，4），贝U si.三、解答题1.（河南省）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m矩形面与地面所成的角a为78° .李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05〜0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？（参考数据：sin78 °~ 0.98 , cos78°~ 0.21 , tan78 °~ 4.70.）2.（福建福州）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔画AD// BC（ D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为________;（3）请你在△ ACD的三个内角中任选一个锐角.，若你所选的锐角是__________ ，则它所对应的正弦函数值是（4）若E为BC中点，贝U tan / CAE的值是______3.（山东德州）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1: .3 , AO 10米.坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB= 14米.试求旗杆BC的高度.4.（浙江台州）如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角ZCBD =12，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°(1)求半径OD(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干?6.(江苏省)如图，在航线I 的两侧分别有观测点 A 和B ,点A 到航线I 的距离为2km,点B 位于点A 北偏东60。