二项分布定义： 若X表示 n重伯努利试A验 发中 生事 的 , 件 次 当 X k(0 k n )时 ,即 A 在 n 次 试 验 中 发 生 了 k次
的概率为：P XkC n kpk(1p)n k
X记~为B(n,p). k0,1 ,2,3,Ln
例3：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现进 行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。
P{X 2} 1 2
P{X 3} 1 6
X 的分布列为:
X P
1
2
3
1/3 1/2 1/6
练习 设袋中装有6个球，编号为{1,1,2,2,2,3}，从 袋中任取一球，记取到的球的编号为X，
求：（1）X 的分布列；（2）编号大于1的概率．
解：事件“编号大于 1”可用随机变量 X 表示为{X 1}，有
P{X 2} 1 2
P{X 3} 1 6
P{X 1} P { X2 }P { X 3 }
11 2 26 3
56页2题
一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4， 5，从中随机抽取3个，以X表示取出的3个球 中最大的号码，求X的分布列．
解 依题意 X 可能取到的值为 3, 4,5 ，
P{X 3} 1 1 C53 10
X = xk 1 0
Pk p 1 - p 则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.
0<p<1 记为 X～B(1, P)。
应用 场合
凡试验只有两个结果, 常用0 – 1分布描述, 如产 品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、 电力消耗是否超标等等.
练习 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那么,若规定
X 可能取的值为: 0, 1, 2。取各值的概率为
C
P(X0)
3 3
C
3 5
1 10
,
C
P(X1)
2 3
C
C
3 5
1 2
6 10
,
P(X2)
2
C
1 3
C
2 2
C
3 5
3, 10
且 P(X k) 1。
k0
这个就是随机变量X 的概率分布。
一、离散型随机变量的分布列
定义 设离散型随机变量X所有可能取的值为 xk (k 1,2,L ), 若X 取各个可能值的概率为 P{X xk} pk, k 1,2,L . 则称上式为离散型随机变量X 的分布列 (或概率分布、分布律).
X 的概率分布 P(X=2) = 0.9*0.9= 0.81 .
X
0
1
2
P
0.01 0.18 0.81
练习 设袋中装有6个球，编号为{1,1,2,2,2,3}，从 袋中任取一球，记取到的球的编号为X，
求：（1）X 的分布列；（2）编号大于1的概率．
解 （1）因为 X 可取的值为 1，2，3，而且
P{X 1} 1 3
离散型随机变量---------------------及其分布列
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
引例：从盒中任取3 球， 记 X 为取 到白球数。则 X 是一随机变量。
N
例题P1{：X
设k随}机变N量Xa的分N布 列a 为 1
k1
k1 N
N
试确定常数aa. 1
56页1题
1. 判断下面各数列是否为随机变量的分布列，并说明理由．
（1） pi
i ,i 15
0,1,2,3,4,5
；（2）
pi
5 i2 6
,i 0,1,2,3 ；
解 验证 pi 是否满足下列两个条件：① pi 0,i 1,2, ，② pi 1．
解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则 X 的概率分布为
P { X k } C 4 k p k ( 1 p ) 4 k, k 0 , 1 ,2 ,3 ,4 .
例4 某特效药的临床有效率为75%，今有10 人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？
解 设 X 为10人中被治愈的人数，根据题意知 X ~ B(10,0.75)，则所求
X
1,
0
,
取得不合格品, 取得合格品.
X0 1
X 的分布列为:
pk
190 200
10 200
则随机变量 X布
产生背景：n 重伯努利试验 设 试 验 E只 有 两 个 可 能 结 果 : A及 A 设 P(A)p(0p1),此 时 P(A)1p.
i
（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，
因为
p3
5
6
9
4 6
0
例2：某篮球运动员投中篮筐概率是0.9，求其两次独 立投篮后，投中次数 X 的概率分布。
解：X 可取的值为 ：0, 1, 2，且 P(X=0) = 0.1*0.1 = 0.01， P(X=1) = 0.9*0.1+ 0.1*0.9= 0.18 ,
X~B(10,0.75)
X~B(6,0.5)
从图中可以看出，对于二项分布， X 取k 值的概率随着k 的增大先是逐渐增大，直至 达到最大值，然后再下降．使 X 取值达到最大概率的点，称为二项分布的最可能取值． 证明得，当 (n 1)p m 为正整数时， m 和 m1均为最可能取值；当(n 1)p 不是正整数时， 则满足 (n 1)p 1 m (n 1)p 的整数即为最可能取值．
的概率为 P{X8} P { X 8 } P { X 9 } P { X 1 0 }
C180(0.75)8(0.25)2 C 1 9 0 (0 .7 5 )9 (0 .2 5 )1 C 1 1 0 0 (0 .7 5 )1 0
0 . 2 8 1 6 0 . 1 8 7 7 0 . 0 5 6 3 0 . 5 2 5 6
P{X5}1C42 6 C53 10
P{X 4}1CC5332
3 10
X
3
4
5
136
P
10 10 10
二、几个重要的离散型随机变量及其分布列
1、两点分布（也称（0-1）分布）
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情
况.
X()10,,
反面, 正面.
其分布律为
X0 1
1
1
pk
2
2
1、两点分布（也称（0-1）分布） 定义：设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
离散型随机变量的分布列也可表示为
X x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
分布列的性质
任一离散型随机变量的分布列
都具有下述 p两k 个性质：
pk0,k1,2,
非负性
pk 1
k 1
规范性
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律
PXka,k1,2,K,N,
N
解 由离散型随机变量分布列的性质（2）规范性，