2．已知
a n x n 的收敛半径为 R，则 an x 2n 的收敛半径为
n1
n1
R。
（
）
（
）
3． an x n 的收敛半径为 R，在（ -R， R）内的和为 S(x) ，则在（ -R， R）内任一点 S(x) 有
n1
任意一阶导数存在。
（
）
4 ． a n xn 和 bn x n 的 收 敛 半 径 分 别 为 Ra , Rb ， 则 (a n bn )x n 的 收 敛 半 径
四、确定下列幂级数的收敛区间。
1． n3 x n
n1
xn
2.
n 1 2 4 6 (2n )
3.
(
n1
1) n
x2n 1 n 2n
1n
4.
n 11
n2 (x
2) n
五、求下列幂级数的和函数。
1． nx n 1( x 1)
n1
x4n 1
2.
( x 1)
n 1 4n 1
3．
n
1
n(n 2n
1)
1
x
n
1
并求
n1
4n
3． 如果 un 收敛，则下列级数中（
n1
）收敛。
（ A ） (u n 0.001)
n1
（B ） u n 1000 （ C） un
n1
n1 2
(D) 1000
n 1 un
4． 设 u n =2，则下列级数中和不是 1 的为（
）
n1
（A）
1
n 1 n(n 1)
四、求下列级数的和
1．
n
1
3n 2n 5n
1. ( 3n 1 ) n n 1 4n 1
n 2n 1
2. (
)
n 1 3n 1
3． ( b ) n ，其中 an
a(n
n 1 an
), an ,b, a 0 。
七、判断
en n! 的收敛性。
n 1 bn
八、设 an , bn
0, 且 an 1 an
bn 1 , n 1,2,3 bn
1． 若 bn 收敛，则 an 收敛。
3)
2. u n 为正项级数，下列命题中错误的是
n1
lim （ A ） 如果
un 1
n
un
lim 1 ，则 un 收敛。 (B) 如果
n1
n
un 1 un
1 ，则 un 发散。
n1
(C) 如果 u n 1 un
1 ，则 u n 收敛。
n1
(D) 如果 u n 1 un
1 ，则 u n 发散。
n1
2． 判断
n1
，
]
上收敛，则
lim
n
an
0。
（
）
二、填空题
1． f ( x) 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为 f (0) 1, S(0) 2, 则 lim f ( x) =
x0
S(x) ，已知 f(x) 在 x=0 处左连续，且 。
2．设 f ( x)
x x,
x0
展成以 2 为周期的傅立叶级数的和函数为
1．
( 1) n 1
n
n1
n1
3
2.
( 1) n 1
1
n1
ln(1 n)
sin
3．
n1
n1
n1
4.
[( 1) n 1
1 ]
n1
nn
六、已知级数
u
2 n
收敛。证明：
u n 必绝对收敛。
n1
n1 n
§11.3
幂级数
一、判断题
1．若幂级数 an ( x 3)n 在 x=0 处收敛，则
n1
2
在 x=5 处必收敛。
二、填空题
1．
n
1 1 np
，当
p 满足条件
时收敛。
（
）
（
）
2．若 u n 为正项级数，且其部分和数列为
sn ，则 u n 收敛的充要条件是
。
n1
n1
三、选择题 1． 下列级数中收敛的是
（A）
1
n 1 nn n
（B）
n
n 1 n(n
1 （ C）
3n （D）
2)
n 1 n 2n
n 1 (n
4 1)( n
3．
1
n 1 (n 1)( n 3)
2
4. arctan
n1
n
1
5． (1 cos )
n1
n
6. ( sin )
n1 n
n
五、用比值判断法判断下列级数的收敛性。
1．
n
n! 1 10n
(2 n)! 2. n 1 n!7 n
a 2n 3. n 1 n2 （ a 为常数）
nn
4.
n 1 (n! ) 2
六、用根值判断法判断下列级数的收敛性。
）
n1
n
（ A ）（ 4， 6）
（B ） 4,6 （ C） 4,6
（D ）[4， 6]
3． 若级数 (2 x a)n 的收敛域为 3,4 ，则常 a =（
）
n 1 2n 1
（ A ） 3 （ B） 4 （ C） 5 （D ）以上都不对。
4． 级数
1x (
1 )
n
的和函数为（
）
n 1n x
（ A ） ln(1 x) x （ B） ln( 2 x) （C） ln x （ D）以上都( 1) n 1 1
n1
n
（B） (
n1
1) n
1 n2
（ C）
n
(
1
1) n n n1
（D） (
n1
1) n 1 n(n 1)
2． 下列级数中绝对收敛的是（
）
（A ） ( 1) n 1
n1
n
（B）
( 1)n 1 （ C）
( 1) n 1 （ D）
( 1) n 1
n 2 ln n
n1
n1
2.若 an 发散，则 bn 发散。
n1
n1
lim 九、若
n 2 an A 0 ，问 a n 是否收敛？
n
n1
十、偶函数 f(x) 的二阶导数 f ( x) 在 x=0 的某个区域内连续， 且 f (0) 1, f (0) 2 。求证：
[ f ( 1 ) 1] 收敛。
n1
n
§11.2
常数项级数的审敛法（ 2）
五、将下列函数展成
1． 1 x
x-1 的幂级数，并指出展开式成立的区间。
2. (x 2)e x
六、将 f ( x) cos x 展成 x 的幂级数 3
§11.6 函数的幂级数展开式的应用
一、填空题
1．利用 arctanx 的麦克劳林展开式计算 I
I 的近似值时，应取级数的前
2．据欧拉公式有 ei
。
n1 n n
n 2 n ln n
四、用适当的方法判定下列级数的收敛性。
1． (1 cos )( 为常数）
n1
n
n1
2.
n1 n
3．
n4
n 1 n!
1 3 5 (2n 1)
4.
n 1 2 5 8 (3n 1)
1
5．
n1
n4 1
x4 dx
0
6. ( an ) n (a 0) n1 1 n
五、判定下列级数是否收敛？若收敛是条件收敛还是绝对收敛？
(D) 以上都不对
4． x 4 2 展开成 x 的幂级数是（
）
1x
（A ）
2n
x
（B）
n 2n
( 1) x
（ C）
2n
x
（D）
n 2n
( 1) x
n1
n1
n2
n2
四、将下列函数展成 x 的幂级数。
1． shx e x e x 2
3． x 1 x2
2. (1 x) ln(1 x) 4. x arctanx ln 1 x 2
（B ）充分但非必要条件 （D ）既不是充分条件也非必要条件
3． f ( x)在 ( , ) 内展开成 x 的幂级数，则下列条件中只有（
）是必要的。
（A ） f (n) (0)( n 1,2 ) 存在。 （B ） f (n) (0)( n 1,2 ) 处处存在。
（C） lim f (n) (x) 0 n
1 2n
)
的和为
。
三、选择题
1． 下列级数中收敛的是（
）
（ A ） 4n 8 n
n1
8n
（ B） 8n 4n
n1
8n
（ C） 2n 4n
n1
8n
（D） 2n 4n
n 1 8n
2． 下列级数中不收敛的是（
）
（A）
1
ln (1 )
n1
n
（B） 1 n 1 3n
（C）
1
（ D） 3n ( 1)n
n 1 n (n 2)
1． 函数 f (x) e x2 展开成 x 的幂级数为（
，收敛域为 ）
（）
（
）
。 。
x 2n
（A ）
n 0 n!
（B）
( 1) n x 2n （ C）
xn
n0
n!
n 0 n!
( 1) n x n
（D ）
n0
n!
2． f ( n) (0 ) 存在是 f(x) 可展开成 x 的幂级数的（