抽象代数练习题
一．设A 是一个非空集合,S 是由A 的所有子集构成的集合.则集合的并
”“ 是S 上的一个代数运算.证明:),( S 是一个半群.（10分）
二．令⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Z ,,,d c b a d c b a S .证明S 关于矩阵的乘法构成一个半群.（10分）-
三．设G 是一个群,证明:111)(---=a b ab ,G b a ∈∀,.（10分）
四．设G 是一个群,证明:G 是交换群的充要条件是
222)(b a ab =,G b a ∈∀,.（10分）
五．求证:循环群的商群也是循环群. （10分）
六.设G 是群,H 和K 是G 的子群,
(1)证明:HK 是G 的子群KH HK =⇔.
(2)假设H 是G 的正规子群,证明:HK 是G 的子群.
(3)假设H 和K 都是G 的正规子群,证明:HK 是G 的正规子群.（20分）
七．设H 是群G 的子群,1-aHa 是H 的共轭子群,证明:1-aHa 与H 同构.（10分）
八．设f 是群G 到群'G 的满同态,'H 是'G 的正规子群,证明:'/')'(/1H G H f G ≅-.（20分）
参考答案：
一．证明 众所周知,对于任意的S Z Y X ∈,,,总有
)()(Z Y X Z Y X =.
这就是说,S 上的代数运算”“ 适合结合律,所以),( S 是一个半群.
二．证明 众所周知,对于任意的S C B A ∈,,,总有
S AB ∈,)()(BC A C AB =.
这就是说,矩阵的乘法是S 上的一个代数运算,并且适合结合律,所以S 关于矩阵的乘法构成一个半群.
三．证明 对于任意的G b a ∈,,我们有
e aa aea a bb a a b ab ====------111111)())((,
e b b eb b b a a b ab a b ====------111111)())((.
所以
111)(---=a b ab ,G b a ∈∀,.
四．证明 必要性是显然的.现在假设G 满足该条件.于是,对于任意的G b a ∈,,我们有222)(b a ab =,即aabb abab =.运用消去律(第5题)立即可得ba ab =.所以G 是交换群.
五．证明 设〉〈=a G 是循环群,H 是G 的子群.于是,我们有
〉〈=∈=∈=aH n aH n H a H G n n }Z |){(}Z |{/.
这就表明,H G /是循环群.
六．证明 (1)假设HK 是G 的子群.于是,对于任意的G a ∈,我们有
HK a ∈HK a ∈⇔-1
⇔存在H h ∈和K k ∈,使得hk a =-1
⇔存在H h ∈和K k ∈,11--=h k a
KH a ∈⇔.
所以KH HK =.
假设KH HK =.为了证明HK 是G 的子群,任意给定HK b a ∈,.于是,存在H h h ∈21,和K k k ∈21,,使得11k h a =,22k h b =.因此
1
21211122111))(())((----==h k k h k h k h ab .
由于KH HK k k h =∈-)(1211,因此存在H h ∈3和K k ∈3,使得331211)(h k k k h =-,从而, HK KH h h k h h k h k k h ab =∈===-=---)()())((1
23312331212111.
这样一来,由于HK b a ∈,的任意性,我们断言:HK 是G 的子群.
(2)由于H 是G 的正规子群,我们有
KH kH Hk HK K k K k ===∈∈ .
这样,根据(1),HK 是G 的子群.
(3)根据(2),HK 是G 的子群.此外,还有
a HK Ka H aK H K Ha K aH HK a )()()()()()(=====,G a ∈∀.
所以HK 是G 的正规子群.
七．证明：定义H 到1
-aHa 的映射f 如下: 1)(-=axa x f ,H x ∈∀.
直接从f 的定义可以明白,f 是满射.利用消去律容易推知,f 是单射.因此f 是双射.其次,对于任意的H y x ∈,总有
)()())(()()(111y f x f aya axa a xy a xy f ===---.
所以f 是群H 到群1-aHa 的同构,从而,H aHa ≅-1.
八．证明：由于'H 是'G 的正规子群,根据定理6.7,)'(1H f -是G 的正规子群.现在定义G 到'/'H G 的映射g 如下:
')()(H a f a g =.
由f 是群G 到群'G 的满同态可知g 是G 到'/'H G 的满射.
其次,注意到'H 是'G 的正规子群,对于任意的G b a ∈,,有
)()()')()(')(('')()(')()(b g a g H b f H a f H H b f a f H ab f ab g ====.
所以g 是G 到'/'H G 的满同态.
最后,对于任意的G a ∈,我们有
)'(')('')()(Ker 1H f a H a f H H a f g a -∈⇔∈⇔=⇔∈.
因此)'()(Ker 1H f g -=.这样一来,根据群的同态基本定理,'/')'(/1H G H f G ≅-.。