[精华版]近世代数期末考试试卷及答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。
33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( )22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。
A、不可能是群,,,B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。
4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
,,a,a,？,a01n,FF7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得na，a，,？，a,,001n。
x,A8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为---------。
ax,a,xa(A,0) GG9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭;结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。
,,,2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，(E，)是一,个代数系统，问(E，)是不是群，为什么,3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。
四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b?G，必有惟一的x?G使得a*x,b。
2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系:a?b当且仅当m,a–b。
近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。
A、2阶,,,B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶2、设G是群，G有( )个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个 B、5个 C、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N,)B、(Z,) ,,,C、({2,3,4,6,12},|(整除关系)) D、 (P(A),) 5、设S3,{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有( )A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
,1f，，f,,fa,aAAA2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则----------。
3、区间[1，2]上的运算的单位元是-------。
a,b,{mina,b}4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z的零因子有 -----------------------。
86、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
nGa,eammn9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为--------。
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链,2、S，S是A的子环，则S?S也是子环。
S+S也是子环吗,121212,,(234)(456),S,,(1345)(1245)63、设有置换，。
,1,,,,1(求和;,1,,,,2(确定置换和的奇偶性。
四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
-122、M为含幺半群，证明b=a的充分必要条件是aba=a和aba=e。
近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。
1、C;2、D;3、B;4、C;5、D;二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
,,，，，，，，，，，，，，1,,1,1,0,1,12,,1,2,0,2,11、;2、单位元;3、交换环;4、整数环;5、变换群;6、同构;7、零、-a ;8、S=I或S=R ;9、域; 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分),,1、解:把和写成不相杂轮换的乘积:,,(1653)(247)(8),,(123)(48)(57)(6),,,,可知为奇置换，为偶置换。
和可以写成如下对换的乘积:,,(13)(15)(16)(24)(27),,(13)(12)(48)(57)11,,B,(A，A)C,(A,A)222、解:设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，A,B，CBCA,B，C1111而C是反对称矩阵，且。
若令有，这里和分别为对称B,B,C,C11矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称B,BC,C11矩阵，于是两边必须都等于0，即:，，所以，表示法唯一。
M，Mmmm3、答:(，)不是群，因为中有两个不同的单位元素0和m。
四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)2,1,1,1(xy),exy,(xy),yx,yx1、对于G中任意元x，y，由于，所以(对每2,1x,ex,x个x，从可得)。
2、证明在F里a,1,1ab,ba,(a,b,R,b,0)b,a,,Q,所有(a,b,R,b,0),,b,,有意义，作F的子集 ,Q显然是R的一个商域证毕。
近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。
1、C;2、D;3、B;4、B;5、A;二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、变换群;2、交换环;3、25;4、模n乘余类加群;5、{2};6、一一映射;7、不都等于零的元;8、右单位元;9、消去律成立;10、交换环;三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 1、解:H的3个右陪集为:{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}H的3个左陪集为:{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )} ,,2、答:(E，)不是群，因为(E，)中无单位元。
3、解方法一、辗转相除法。
列以下算式:a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代:17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、证明设e是群<G，*>的幺元。
令x,a,1*b，则a*x,a*(a,1*b),(a*a,1)*b,e*b,b。
所以，x,a,1*b是a*x,b的解。
若x ?G也是a*x,b的解，则x ,e*x ,(a,1*a)*x ,a,1*(a*x ),a,1*b,x。
所以，x,a,1*b是a*x,b的惟一解。
Z2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记a为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=,x?Z;m,x–a,或者也可记为，称之为模m剩余类。
若m,a–b也记为a?b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元:[0]与[1]。
近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、C;2、C;3、D;4、D;5、A;二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
a1、唯一、唯一;2、;3、2;4、24;5、;6、相等;7、商群;8、特征;mn9、;三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。
用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算:例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。
2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b?S1?S2 有a-b, ab?S1?S2:因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab?S1和a-b, ab?S2 ，因而a-b, ab?S1?S2 ，所以S1?S2是子环。
S1+S2不一定是子环。
在矩阵环中很容易找到反例:,1,,,(1243)(56),,,(16524)3、解: 1(，; 2(两个都是偶置换。
四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分),,,,0,1、证明:假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定,1b,b,1,,aa,1,,义，因而R的任意元,这就是说=R，证毕。
2、证必要性:将b代入即可得。
充分性:利用结合律作以下运算:ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，所以b=a-1。