2012年中考第二轮专题复习九：几何综合体、代数和几何综合题1（2011省）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。

分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，∴DE⊥DG．（2）如图．（3）四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK、DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，∴∠KME+∠DEF=180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．（4）=．点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂2（2011建设兵团）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形。

分析：（1）作AE⊥BC，根据题意可知BE的长度，然后，根据∠B的正弦值，即可推出AB 的长度；（2）作QF⊥BC，根据题意推出BP=CQ，推出CP关于x的表达式，然后，根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值；（3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，∠B=∠APB=∠BAP=45°，这是不符合三角形角和定理的，所以假设是错误的，故AB上不存在M点．解答：解：（1）作AE⊥BC，∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∴BE=（BC﹣AD）÷2=2.5，∵∠B=45°，∴AB=，（2）作QF⊥BC，∵等腰梯形ABCD，∴∠B=∠C=45°，∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP=x，∴BP=CQ=x，∵BC=9，∴CP=9﹣x，QF=，设△PQC的面积为y，∴y=（9﹣x）•，即y=，∴当x==时，y的值最大，∴当x=时，△PQC的面积最大，（3）假设AB上存在点M，使得四边形PCQM为菱形，∵等腰梯形ABCD，∠B=∠C=45°，∴CQ=CP=BP=MP，∠B=∠C=∠MPB=45°，∴∠BMP=45°，∵∠B=∠APB=∠BMP=45°，不符合三角形角和定理，∴假设不存在，∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．点评：本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可．3（2011省市）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时．．出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA 向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0<t<10）。

（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由。

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。

分析：（1）如果四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=CP，根据P、Q两点的运动速度，结合运动时间t，求出DQ、CP的长度表达式，解方程即可；（2）PH的长度不变，根据P、Q两点的速度比，即可推出QD：BP=1：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20．解答：解：（1）∵AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动，∴DQ=t ，PC=20﹣2t ，∵若四边形PCDQ 为平行四边形，则DQ=PC ， ∴20﹣2t=t ，解得：t=；（2）线段PH 的长不变，∵AD ∥BH ，P 、Q 两点的速度比为2：1， ∴QD ：BP=1：2， ∴QE ：EP=ED ：BE=1：2， ∵EF ∥BH ，∴ED ：DB=EF ：BC=1：3， ∵BC=20，∴EF=，∴：=，∴PH=20cm ．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得DQ 和PC 的长度表达式，推出DQ 和PC 的长度比为1：2．4（2011鄂尔多斯市）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点B 的坐标为（4，2）,OC 边在x 轴上，反比例系数y=xk（x ＞0）的图像经过点A ，过点A 的直线y=-21x+25与x 轴交于点E （1）直接写出的A 的坐标与k 的值;（2）连接BE ，所得梯形OABE 是等腰三角形吗？请说明理由；(3)请判断：平行四边形OABC 的对称中心 （填“在”或“不在”） 该反比例系数的图像上。

5（2011省市）已知：如图所示的一矩形纸片ABCD(AD ＞AB)，将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE. （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AE=10cm ，△ABF 的面积为242cm ，求△ABF 的周长； （3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得22AE AC AP =⋅？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。

专题：几何综合题。

分析：（1）通过证明△AOE ≌△COF ，可得四边形AFCE 是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC ，即可证明；（2）由勾股定理得AB 2+FB 2=100，△ABF 的面积为24cm 2可得，AB ×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E 作AD 的垂线，交AC 于点P ，通过证明△AOE ∽△AEP ，即可证明； 解答：（1）证明：由题意可知OA=OC ，EF ⊥AO ， ∵AD ∥BC ，∴∠AEO=∠CFO ，∠EAO=∠FCO ， ∴△AOE ≌△COF ， ∴AE=CF ，又AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形；（2）∵四边形AECF 是菱形， ∴AF=AE=10cm ， 设AB=a ，BF=b ，∵△ABF 的面积为24cm 2， ∴a 2+b 2=100，ab=48，∴（a+b ）2=196，∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去）， ∴△ABF 的周长为14+10=24cm ；（3）存在，过点E 作AD 的垂线，交AC 于点P ，点P 就是符合条件的点； 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP ， ∴△AOE ∽△AEP ，∴=，∴AE 2=AO •AP ，∵四边形AECF 是菱形，∴AO=AC ，∴AE 2=AC •AP ，∴2AE 2=AC •AP ．点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．6（2011省）.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠BAD=90°，CE ⊥AD 于点E,AD=8cm ，BC=4cm,AB=5cm 。

从初始时刻开始，动点P,Q 分别从点A,B 同时出发，运动速度均为1 cm /s, 动点P 沿A-B--C--E 的方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B--C--E--D 的方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，∆PA Q 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形) 解答下列问题：(1) 当x=2s 时，y=_____ cm 2;当x =29 s 时，y=_______ cm 2(2）当5 ≤ x ≤ 14 时，求y 与x 之间的函数关系式。

(3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出154=y S 梯形ABCD 时x 的值。

（4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．CP（备用图）C解：（1） 2；9、 （2） 当5≤x ≤9时CPQy= S 梯形ABCQ –S △ABP –S △PCQ =21(5+x -4)×421-×5(x -5)21-(9-x )(x -4)2657212+-=x x 2657212+-=x x y当9＜x ≤13时y=21（x -9+4）(14-x ) 35219212-+-=x x 35219212-+-=x x y 当13＜x ≤14时(Q )y=21×8(14-x )=-4x +56 即y=-4x +56（3） 当动点P 在线段BC 上运动时， ∵154=y S 梯形ABCD 154=×21 (4+8)×5 = 8即x ²-14x +49 = 0 解得x 1 = x 2 = 7 ∴当x =7时，154=y S 梯形ABCD （4） 9101961921=x说明：（1）自变量取值不含9，13可不扣分.(2）不画草图或草图不正确，可不扣分7（2011省市）已知，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质。