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高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答(可编辑修改word版)

1 2 122 5 LL⎰⎝⎭ 第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题 10—11 计算下列对弧长的曲线积分:(1) I =⎰Lxds ,其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A (0,1) 到 B (, - ) 之间的一段劣弧;解: (1 +) .(2) ⎰L(x + y +1)ds ,其中 L 是顶点为O (0, 0), A (1, 0)及 B (0,1) 所成三角形的边界;解: ⎰L (x - y + 1)ds = 3 + 2 .(3)⎰x 2 + y 2 ds ,其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = x ;解: ⎰ x 2 + y 2 ds = 2 .(4) x 2 yzds ,其中 L 为折线段 ABCD ,这里 A (0, 0, 0) , B (0, 0, 2), C (1, 0, 2),LD (1, 2, 3) ;解:⎰Lx 2 yzds =8.3zB (0, 0, 2)D (1, 2,3)C (1, 0, 2)2 求八分之一球面 x 2+ y 2 + z 2= 1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 的边界曲线的重心,设曲线的密度= 1 。

解 故所求重心坐标为⎛4 , 4 ,4 ⎫ .A (0, 0, 0)yx3 3 3⎪习题 10—21 设 L 为 xOy 面内一直线 y = b ( b 为常数),证明12yAC oxB⎰⎰⎰L x - y + z = 2 , ⎰证明:略.2 计算下列对坐标的曲线积分: ⎰LQ (x , y )dy = 0 。

(1) ⎰Lxydx ,其中 L 为抛物线 y = x 上从点 A (1, -1) 到点 B (1,1) 的一段弧。

24解 : ⎰Lxydx = 5。

(2) (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy ,其中 L 是曲线 y = 1 - 1 - x 从对应于 x = 0 时的点到Lx = 2 时的点的一段弧;解(x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y2 )dy = 4 . L 3(3) ⎰Lydx + xdy , L 是从点 A (-a , 0) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = a 2 到点 B (a , 0) 的一段弧;解 ⎰L ydx + xdy = 0.(4) xy 2dy - x 2 ydx ,其中 L 沿右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点,经过点C (a , 0) L到终点 B (0, -a ) 的路径;解 ⎰L xy 2dy - x 2 ydx = -a 4。

4(5)⎰L x dx + 3zy dy - x ydz ,其中 L 为从点 A (3, 2,1) 到点 B (0, 0, 0) 的直线段 AB ; 32 20 3 87 解⎰ x 3dx + 3zy 2dy - x 2 ydz = 87⎰ t dt = - 。

L 1 4⎧x 2 + y 2 = 1 ,(6) I = (z - y )dx + (x - z )dy + (x - y )dz , L 为椭圆周⎨ 且从 z 轴⎩正方向看去, L 取顺时针方向。

解: = -2。

习题 10—31. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:⎩L2⎰+ + - ⎧x = a cos 3 t ,(1) 星形线⎨ y = a sin 3t , ( 0 ≤ t ≤ 2);)解: = 3a 2 。

8(2) 圆 x 2 + y 2 = 2by ,( b > 0 );解: =b 2 。

2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1)方向;⎰ ( y - x )dx + (3x + y )dy ,其中 L 是圆(x - 1)2 + ( y - 4)2 = 9 ,方向是逆时针(2)(2)解:= 18。

ydx + ( 3 sin y - x )dy ,其中 L 是依次连接 A (-1, 0), B (2,1), C (1, 0) 三点的折线 L段,方向是顺时针方向。

解 :2 .(3)(3)(e x sin y - my )dx + (e xcos y - m )dy ,其中 m 为常数, L 为圆 Lx 2 + y 2 = 2ax 上从点 A (a , 0) 到点O (0, 0) 的一段有向弧;解 : = 1ma 2 -0 = 1m a 2 。

(4) (4)针方向; 2 ⎰Lxdy - ydx x 2 + y 2 2,其中 L 为椭圆4x 2 + y 2= 1 ,取逆时 解= ⎰0 d = 2.∂u2 2 2 2 ∂u(5)⎰L∂n ds ,其中u (x , y ) = xu 沿 L 的外法线方向导数。

+ y , L 为圆周 x + y= 6x 取逆时针方向,∂n是解⎰ ∂uds = 36。

L ∂n3 证明下列曲线积分在整个 xOy 面内与路径无关,并计算积分值:(1)(2,1)(0,0)(2x y )dx (x 2 y )dy ;∂P ∂Q解 令 P = 2x + y , Q = x - 2 y ,则 ∂y = 1 = ∂x在整个y0(0, 0)oA (2a , 0) xyB (2,1)⎰ ⎰⎰+ + - (2,1)⎰(1,2)⎰+ (2,1)xOy 面内恒成立,因此,曲线积分 (0,0)(2x y )dx (x 2 y )dy 在整个 xOy 面内与路径无关。

为了计算该曲线积分,取如右图所示的积分路径,则有⎰(0,0)(2x + y )dx + (x - 2 y )dy = 4 +1 = 5 。

(2)(x ,y )(2x cos y - y 2 sin x )dx + (2 y cos x - x 2 sin y )dy ;(0,0)解 令 P = 2x cos y - y 2 sin x , Q = 2 y cos x - x 2 sin y ,则∂P= -2( y sin x + x sin y ) =∂Q在整个 xOy 面内恒成立,因∂y∂x此 ,( x , y )(2x cos y - y 2 sin x )dx + (2 y cos x - x 2 sin y )dy 在(0,0)整个 xOy 面内与路径无关。

为了计算该曲线积分,取如右图所 示的积分路径,则有(x ,y )(2x cos y - y 2 sin x )dx + (2 y cos x - x 2 sin y )dy(0,0)= x 2 cos y + y 2 cos x 。

(3)⎰(2,1)(x )dx +( y )dy ,其中(x ) 和( y ) 为连续函数。

∂P ∂Q解 令 P =(x ) , Q =( y ) ,则 ∂y = 0 = ∂x在整个 xOy 面内恒成立,因此,曲线积(1,2)分(2,1)(x )dx ( y )dy 在整个 xOy 面内与路径无关。

为了计算该曲线积分,取如右图所示的积分路径,则有(1,2)12⎰(2,1)(x )dx +( y )dy = ⎰2(x )dx +⎰1 ( y )dy 。

4 验证下列 P (x , y )dx + Q (x , y )dy 在整个 xOy 面内为某一函数u (x , y ) 的全微分,并求出这样的一个u (x , y ) :(1) (2x + sin y )dx + x cos ydy ; 解 令 P = 2x + sin y , Q = x cos y∂Q= cos y , ∂P= cos y ∂x ∂y∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分,取yB (x , y )O A (x , 0)xyC (1, 2)B (1,1) A (2,1)OxyB (x , y )•O•A (x , 0) x⎰⎰⎰ (x0 , y0 ) = (0,0) ,u(x, y) =( x, y ) Pdx +Qdy = x 2+x sin y(0,0)(2)(x2+ 2xy -y2 )dx + (x2- 2xy -y2 )dy ;解 因为 P =x 2+ 2xy -y2,Q =x 2- 2xy -y2∂Q,所以∂x= 2x - 2 y =∂P在整个∂yxOy 面内恒成立,因此,:在整个xOy 面内,(x2+ 2xy -y2 )dx + (x2- 2xy -y2 )dy 是某一函数u(x, y) 的全微分,即有(x2+ 2xy -y2 )dx + (x2- 2xy -y2 )dy =du 。

易知u(x, y) =1x3+x2y -xy2-1y3+C 。

3 3(3)e x(1 + sin y)dx + (e x+ 2sin y) cos ydy 。

解令P(x, y) =e x(1 + sin y) ,Q(x, y) = (e x+ 2sin y) cos y ,则在全平面上有∂Q=∂P=e x cos y ,满足全微分存在定理的条件,故在全平面上,∂x ∂ye x(1 + sin y)dx + (e x+ 2sin y) cos ydy 是全微分.u(x, y) =e x- 1 +e x sin y + sin2y .5可微函数f (x, y) 应满足什么条件时,曲线积分⎰L f (x, y)( ydx +xdy)与路径无关?解令P =yf (x, y) ,Q =xf (x, y) ,则∂P=∂y f (x, y) +yfy(x, y) ,∂Q=∂xf (x, y) +xfx(x, y) 。

当∂P=∂Q∂y ∂x,曲线积分⎰L f (x, y)( ydx +xdy) 在整个xOy 面内与路径无关。

⎩ ⎰⎰ x2+2y⎰⎰ x2+2y⎰⎰ x 2 + 2y习题 10—41当∑ 为 xOy 面内的一个闭区域时,曲面积分⎰⎰ f (x , y , z )dS 与二重积分有什么关系?∑答 当∑ 为 xOy 面内的一个闭区域 D 时, ∑ 在 xOy 面上的投影就是 D ,于是有⎰⎰ f (x , y , z )dS ∑⎰⎰ f (x , y , 0)dxdy 。

D2 计算曲面积分⎰⎰(x 2 + y 2 )dS ,其中∑ 是∑(1) 锥面 z =及平面 z = 1所围成的区域的整个边界曲面;1解= ( 2+1)。

⎧z = y (2) yOz 面上的直线段⎨x = 0(0 ≤ z ≤ 1) 绕 z 轴旋转一周所得到的旋转曲面。

解2 。

23 计算下列曲面积分: (1)⎰⎰ dS ,其中∑ 是抛物面在 xOy 面上方的部分: z = 2 - (x 2 + y 2 ) , z ≥ 0 ;∑解: = 13π.3(2)⎰⎰(x + y + z )dS ,其中∑ 是上半球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2, z ≥ 0 ; ∑解: = 0 + πa 3 = πa 3 . (3) ⎰⎰ (x + 3y + z )dS ,其中∑ 为平面 x + y + z= 1在第一卦限的部分;∑2 2 234 7 61 .61(4)dS ,其中∑ 是柱面 x 2 + y 2 = R 2 被平面 z = 0 ﹑ z = H 所截得的部分.∑同理可求得解1dS =πH .∑1R1dS ∑2= πH . R x 2 + y 2 2⎰⎰ x 2 + 2y所以1dS ∑= 2πH . R4 求抛物面壳 z = 1(x 2 + y 2 ) ( 0 ≤ z ≤ 1 )的质量,此壳的密度为= z 。

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