一元二次方程公共根问题
若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：
1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；
2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；
3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．
一、公共根问题
二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．
二、整数根问题
对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．
方程有整数根的条件：
如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：
⑴ 2∆=
⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数．
以上两个条件必须同时满足，缺一不可．
另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)
三、方程根的取值范围问题
先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围
1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围．
(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．
2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值
3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．
4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．
5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和
222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求a
b b a b a a a --++的值
6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()2
1(2=-+++x k x k
方程②：032)12(2=--++k x k x
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简2
)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．
练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
（1）求k 的取值范围；
（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程062=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求常数m 的值。
3.已知21,x x 是一元二次方程032)1(2=-+++k kx x k 有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当k 取符合条件的最小整数时一元二次方程02=+-k x x 与022=-+m mx x 只有一个相同的根，求m 的值。
4.已知方程072=--kx x 与方程0)1(62=+--k x x =0有公共根，求k 的值及两方程的所有公共根和所有的相异根。
5.关于x 的方程012=++bx x 与02=--b x x 有且只有一个公共根，求b 的值。
6.若方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，求2012)(b a +的值。
7.当p 是什么实数时，方程032=-+px x 与方程0)1(42=---p x x 有一个公共根。
8.设a 、b 、c 为三个互不相等的实数，且1≠c ，已知关于x 的方程012=++ax x 和方程02=++c bx x 有一个公共根，方程02=++a x x 和方程02=++b cx x 有一个公共根，试求c b a ++的值。
9.已知方程①：02=++c bx ax ，（其中0≠c ）有整数根，是否存在整数p ，使得方程②：0)()(23=+++++c x p b x p a x 与方程①有相同的整数根？如果存在，请求出p 的值及相应的公共根，若不存在，请说明理由。
10.是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和方程022=++m x x 有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数及两方程的公共根；若不存在，请说明理由。
11.如果方程062=--bx ax 和方程01522=-+bx ax 有一个公共根是3，求b a ,的值，并分别求出两个方程的另外一个根。
12.设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．
13.b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？。