数学中，通常把命题表示成“若p，则q”的形式，其中，p
是 条件 ，q是 结论 .
观察下列四个命题： (1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； (2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； (3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
其中是命题的是____________．
解析：(1)不是命题，因为它是疑问句，不能判断真假； (2)是命题，是假命题，因为0既不是正数也不是负数； (3)是命题，是真命题； (4)不是命题，因为它是祈使句，不能判断真假；
(5)是命题，是假命题，直线l与平面α可以相交．
答案：(2)(3)(5)
2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)偶数可被2整除； (2)奇函数的图像关于原点对称． 解：(1)若一个数是偶数，则它可以被2整除．真命题；
解：(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．
逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”． 否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”． 逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”． (2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．
逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．
否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”． 逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”.
∴原命题为真，故其逆否命题为真． 答案：真
7．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“
若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”． ∵a＝2b＋1时， a2－4b2－2a＋1＝(a－1)2－(2b)2＝0. ∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知原命题正确．
[一点通]
由于互为逆否命题的两个命题有相同
的真假性，当一个命题的真假不易判断时，可以通过 判断其逆否命题真假的方法来判断该命题的真假．
6．命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命 题是________(填“真”或“假”)命题． 解析：当m>0时，Δ＝1＋4m>0，
∴x2＋x－m＝0有实数根．
(2)逆命题：a，b，c，d∈R，若ab＝cd，则a＝c，b＝d；
否命题：a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则ab≠cd； 逆否命题：a，b，c，d∈R，若ab≠cd，则a≠c或b≠d. 5．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆 命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于0； (2)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
问题1：命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？
提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结 论是命题(2)的条件； 对于命题(1)、(3)，其中一个命题的条件和结论恰好是
另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)、(4)，其中一个命题的条件和结论恰好是 另一个命题的结论的否定和条件的否定． 问题2：命题(1)(4)的真假性相同吗？命题(2)(3)的真假性 相同吗？
条边相等”的逆命题；③“若m≥2，则x2＋mx＋1＝0有实根 ”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题． A．①② C．①③ B．②③ D．③④
解析：①逆命题：若x，y互为倒数，则xy＝1.真命
题．②逆命题：四条边相等的四边形是正方形．假
命题．③逆否命题：若方程x2＋mx＋1＝0无实根， 则m<2.真命题．④原命题为假命题，逆否命题也为 假命题． 答案：C
法二：先判断原命题的真假． 因为 a，x 为实数，且关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2 ＋2≤0 的解集非空， 所以 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0， 7 即 4a－7≥0，解得 a≥ . (8分) 4 7 ∵ >1，∴a≥1.∴原命题为真． 4 (10 分) (4 分)
又因为原命题与其逆否命题真假相同，所以逆否命题为 真． (12 分)
(4)是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y
都是有理数”．
[一点通]
(1)判断语句是否为命题的关键是看该语句
是否能判断真假． (2)在说明一个命题是真命题时，应进行严格的推理 证明，而要说明命题是假命题，只需举一个反例即可．
1．下列语句：
(1)2012年我国南部地区仍然会大旱吗？
(2)一个数不是正数就是负数； (3)地球是太阳系的一个行星； (4)让我们尽情享受暑假吧！ (5)若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．
条件和结论的关系写出其余三种命题．
[精解详析]
(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则
q<1，假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题． 逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题． (2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题． 否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题．
1．互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两 个命题的关系，是相对而言的，把其中一个命题叫做原 命题时，另外三个命题分别是它的逆命题、否命题、逆
否命题．
2．写四种命题时，大前提应保持不变．判断四种 命题的真假时，可以根据互为逆否命题的两个命题的真 假性相同来判断．
(4)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；
(5)1＋2＋3＋…＋2 012； (6)这盆花长得太好了！ [思路点拨] 根据命题的概念进行判断．
[精解详析]
(1)(5)(6)未涉及真假，都不是命题．
(2)是命题．因为1既不是合数也不是质数，故它是假命
题．此命题可写成“若一个数为正整数，则它不是合数就是 质数”． (3)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所 对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边”．
逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．
(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题． (4)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题． 否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题． 逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．
4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题： π (1)若 α＋β＝2，则 sin α＝cos β； (2)a，b，c，d∈R，若 a＝c，b＝d，则 ab＝cd.
π 解：逆命题：若 sin α＝cos β，则 α＋β＝2； π 否命题：若 α＋β≠2，则 sin α≠cos β； π 逆否命题：若 sin α≠cos β，则 α＋β≠2；
把这样的两个命题叫做 互否命题 ．如果把其中的一个命题
叫做 原命题 ，那么另一个叫做原命题的 否命题 ．
(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件 和结论恰好是另一个命题的 结论的否定 和 条件的否定 ，把 这样的两个命题叫做互为逆否命题 ．如果把其中的一个命 题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的 逆否命题 ．
[例3]
(12分)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不
等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题 的真假． [思路点拨] 本题可直接写出其逆否命题判断其真假，
也可直接判断原命题的真假来推断其逆否命题的真假．
[精解详析]
法一：其逆否命题为：已知a，x为实数，
如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为 空集． (3分)
[一点通]
(1)由原命题得到逆命题、否命题、逆否命题的方法： ①交换原命题的条件和结论，得到逆命题； ②同时否定原命题的条件和结论，得到否命题； ③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．
(2)原命题与其逆否命题真假相同；逆命题与否命题真假相同．
3．有下列四个命题，其中真命题是
(
)
①“若xy＝1பைடு நூலகம்则x，y互为倒数”的逆命题；②“正方形的四
(4)四种命题的条件、结论之间的关系如表所示：
命题
原命题
条件
p q
结论
q p q的否定 q的否定
逆命题
否命题 逆否命题
p的否定 q的否定
2．四种命题间的关系
原命题和其逆否命题为互为逆否命题，否命题 与
逆命题为互为逆否命题，互为逆否的两个命题真假
性 相同 ．
1．判断一个语句是否为命题关键看它是否符合两 个条件：一是可以判断真假，二是用文字或符号表述的 语句．祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． 2．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和
(2)若一个函数为奇函数，则它的图像关于原点对
称．真命题.
[例2]
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，
并判断其真假． (1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根； (2)若ab＝0，则a＝0； (3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零； (4)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc. [思路点拨] 找出命题的条件p和结论q.根据四种命题的
提示：命题(1)(4)同为真，命题(2)(3)同为假．
1．四种命题
(1)互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题 的条件和结论分别是另一个命题的 结论 和 条件 ，那么把这 样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做 原命题 ， 另一个命题叫做原命题的 逆命题 ． (2)互否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的条件的否定 和 结论的否定 ，那么
结论，根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、
逆否命题． 3．互为逆否命题的两个命题真假性相同．