数学《坐标系与参数方程》复习知识点一、131．已知M 点的极坐标为(2,)6π--，则M 点关于直线2πθ=的对称点坐标为（ ）A ．(2,)6πB ．(2,)6π-C ．(2,)6π-D ．11(2,)6π- 【答案】A 【解析】M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即为5(2,)6π∴ M 点关于直线2πθ=的对称点坐标为(2,)6π,选A.点睛:(,)(,),ρθρθπ=-+(,)ρθ关于2πθ=对称点为(,)ρπθ-,关于0θ=对称点为(,)ρθ-.2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．3．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系.【详解】 圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．如图，点A 、B 是函数1y x=在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=o 且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（ ）A ．12B ．22C ．32D 5 【答案】D 【解析】 【分析】设点B 的极坐标为(),ρθ，则04πθ<<，由OAB ∆为等腰直角三角形可得出点A 的极坐标2,24πρθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，将函数1y x =的解析式表示为极坐标方程，将A 、B 两点的极坐标代入曲线的极坐标方程，可计算出2ρ的值，再利用三角形的面积公式可计算出OAB ∆的面积. 【详解】设点B 的极坐标为(),ρθ，则04πθ<<，由题意知，OAB ∆为等腰直角三角形，且OAB 90∠=o ，则点A 的极坐标,4πρθ⎫+⎪⎪⎝⎭，将函数1y x =的解析式化为极坐标方程得1sin cos ρθρθ=，即2sin cos 1ρθθ=，化简得2sin 22ρθ=，将点B 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2sin 22ρθ=，将点A的极坐标代入曲线的极坐标方程得2sin 2224πρθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 化简得2cos 24ρθ=，于是有22sin 22cos 24ρθρθ⎧=⎨=⎩，()()242222sin 2cos 22420ρρθρθ∴=+=+=，得2ρ=，因此，OAB ∆的面积为111sin 2424OAB S OA OB πρρ∆=⋅=⨯=⨯=故选D.【点睛】本题考查三角形面积的计算，解题的关键就是将问题转化为极坐标方程求解，将代数问题转化为几何问题求解，考查转化与化归数学思想，属于中等题.5．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭剟，(2,0)C 直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC ∆的面积最大时，tan α=( )A．3BCD．7【答案】D 【解析】 【分析】先将直线直线l 与曲线C 转化为普通方程，结合图形分析可得，要使ABC ∆的面积最大，即要ACB ∠为直角，从而求解出tan α。

【详解】解：因为曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭剟， 两边同时乘以ρ，可得24cos ρρθ=，所以曲线C 的普通方程为22(2)4(02)x y y -+=剟， 曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的上半个圆.因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），所以直线l 的普通方程为tan tan 0x y αα-+=g ，因为1sin 2sin 2ABCS CA CB ACB ACB ∆g g g =??， 所以当ACB ∠为直角时ABC ∆的面积最大，此时C 到直线l 的距离22222AB CA CB d +=== ，因为直线l 与x 轴交于()1,0D -， 所以3CD =，于是7DE =所以214tan 77α==， 故选D 。

【点睛】本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想。

6．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）A ．1'2'3x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【答案】A 【解析】【分析】首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

【详解】解：由sin y x =变成3sin 2y x =''设伸缩变换为(,0)x xy y λλμμ'=⎧>⎨'=⎩，代入3sin 2y x =''，得3sin 2y x μλ=，又因为sin y x =，则312μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得123x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，故选A 。

【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的伸缩变换。

7．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设BP mBC nBA=+u u u v u u u v u u u v（,m n ∈R ），则m n +的取值范围是（ ）A ．[221]B ．[422,42]-+C ．22[1]22-+ D ．22[144-+ 【答案】D 【解析】 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得,BA BC u u u r u u u r 的坐标，进而可得BP u u u r的坐标．分类讨论，当动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点P 坐标，再利用三角函数求m n +的最值． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，(0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ，可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r，当点Q 在CD 上运动时，设(4,),[0,4]Q t t ∈，则点P 在圆Q ：22(4)()1x y t -+-=上及内部，故可设(4cos ,sin ),(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤，则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r，44cos 4sin m r n t r θθ=+⎧∴⎨=+⎩， 444(sin cos )42sin 4m n t r t r πθθθ⎛⎫∴+=+++=+++ ⎪⎝⎭，04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q ，当50,1,4t r πθ===时，m n +42-21-； 当4,1,4t r πθ===时，m n +取最大值为824+，即224+m n ∴+的取值范围是2212⎡+⎢⎣⎦； 当点Q 在AD 上运动时，设(,4),[0,4]Q s s ∈，则点P 在圆Q ：22()(4)1x s y -+-=上及其内部，故可设(cos ,4sin ),(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤，则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r，4cos 44sin m s r n r θθ=+⎧∴⎨=+⎩， 444(sin cos )42sin 4m n s r s r πθθθ⎛⎫∴+=+++=+++ ⎪⎝⎭，04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q ，当50,1,4s r πθ===时，m n +1；当4,1,4s r πθ===时，m n +，即2+m n ∴+的取值范围是1244⎡-+⎢⎣⎦； 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．将点的直角坐标(-化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标是（ ）A ．24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．54,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由P 点的直角坐标(-，可得tan yxρθ==，再利用P 点在第二象限且极角在0到2π之间即可求. 【详解】解：∵点P 的直角坐标(-，∴4ρ===，tan 2y x θ===- 又点P 在第二象限，极角θ在0到2π之间，∴23πθ=． ∴满足条件的点P 的极坐标为24,3π⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ． 【点睛】考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念：点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ.9．将直线1x y -=变换为直线326x y -=的一个伸缩变换为（ ）A．23x xy y''=⎧⎨=⎩B．32x xy y''=⎧⎨=⎩C．1312 x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D．1213x xy y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩【答案】A【解析】【分析】设伸缩变换的公式为(0,0)x axa by by=⎧>>⎨⎩'='，则11x xay yb⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，代入直线1x y-=的方程，变换后的方程与直线326x y-=的一致性，即可求解．【详解】由题意，设伸缩变换的公式为(0,0)x axa by by=⎧>>⎨⎩'='，则11x xay yb⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩代入直线1x y-=的方程，可得111x ya b''-=，要使得直线111x ya b''-=和直线326x y-=的方程一致，则112a=且113b=，解得2,3a b==，所以伸缩变换的公式为23x xy y''=⎧⎨=⎩，故选A．【点睛】本题主要考查了图形的伸缩变换公式的求解及应用，其中解答中熟记伸缩变换公式的形式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．如图，扇形的半径为1，圆心角150BAC∠=︒，点P在弧BC上运动，AP mAB nAC=+u u u v u u u v u u u v，则3m n-的最大值是（）A．1B3C．2D．23【解析】 【分析】以A 为原点可建立坐标系，设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤oo；根据AP mAB nAC=+u u u v u u u v u u u v可求得cos 3sin 2sin m n θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，从而得到()32sin 60m n θ-=+o，利用三角函数值域求解方法可求得结果. 【详解】以AB 为x 轴，以A 为原点，建立坐标系，如下图所示：设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o ，则()0,0A ，()10B ,，312C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()cos ,sin AP θθ∴=u u u v ，()1,0AB =u u u v ，3122AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u vAP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v Q 3cos 1sin 2m n nθθ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得：cos 32sin m n θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()33sin 2sin 60m n θθθ∴-=+=+o0150θ≤≤o o Q 6060210θ∴≤+≤o o o ()1sin 6012θ∴-≤+≤o132m n ∴-≤-≤3m n -的最大值为2本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.11．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1【解析】 【分析】先化简极坐标方程，再代入极坐标化直角坐标的公式得解. 【详解】由题得22(cos 1)0,0cos 1,0 1.x y x ρρθρρθ-=∴==∴+==或或 故答案为C. 【点睛】(1)本题主要考查极坐标和直角坐标互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 求点的极坐标一般用公式222=tan x y y x ρθ⎧+⎪⎨=⎪⎩,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直角坐标，一般利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求解.（3）本题容易漏掉220x y +=.12．参数方程22sin { 12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈ 【答案】D 【解析】试题分析：2cos212sin θθ=-Q ,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-,代入22sin x θ=+可得22yx =-,整理可得240x y +-=.[]2sin0,1θ∈Q ,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.13．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的4，得到的曲线2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=【答案】B 【解析】根据题意，曲线C 2：12θ x cos y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），消去参数，化为直角坐标方程是224413y x +=故选B ．点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：22221cos sin 1,1tan cos θθθθ+=+=.不要忘了参数的范围.14．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,55E c ⎛-- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ，则12PF PF ⋅==所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.15．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C ρθ=，3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为（ ）A B ．2C ．1D ．【答案】B 【解析】 【分析】 首先将曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C 得)Aαα,，联立1C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论． 【详解】 曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，因此得到A 的极坐标为)αα,，B 的极坐标为()cos ,αα． 所以sin 2sin 3=AB πααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为2．故选：B ．【点睛】本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．16．椭圆22:1169x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( )A．185+ B．165- C．185- D．165+ 【答案】C 【解析】 【分析】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，再利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可得答案. 【详解】设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，则点P 到直线l的距离12cos 12sin 185d θθ++==1818455πθ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=≥，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，等号成立. 因为[)0,2θ∈π，所以54πθ=. 所以当54πθ=时，d取得最小值185-. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意点的参数设法及三角函数的有界性运用.17．在极坐标系中，与点8,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标是( ) A ．8,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．58,6π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．58,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．8,6π⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈，结合极径为负数的点的定义，即可得答案； 【详解】点(),ρθ关于极点对称的点为()(),2k k Z ρππθ++∈，故点8,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标为78,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即8,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查极径为负数的极坐标的定义，考查对概念的理解，属于基础题.18．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +-=的最大距离是（ ）A ．3 BC．D【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆221164x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ），由点到直线20x y +=的距离公式，计算可得答案． 【详解】设椭圆221164x y +=上的点P （4cosθ，2s inθ）则点P到直线20x y +=的距离=，max d ==，故选D ．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．19．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于（ ） A ．直线3πθ=对称B ．直线6πθ=对称C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．极点对称【答案】A 【解析】 【分析】 由4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-=，圆心为( ，又因为直线3πθ=即：y =过点(，由此便可得出答案.【详解】由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，化简得曲线的直角坐标方程：2220x x y -+-=，故圆心为( . 又因为直线3πθ=,直角坐标方程为：y =，直线y =过点(，故曲线关于直线3πθ=对称故选：A. 【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.20．曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C:12112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】分别将圆1C 和直线2C 转化为直角坐标方程，然后利用圆上的点到直线的距离与圆心到直线距离的关系从而求出最短距离． 【详解】将1C 转化为直角坐标方程为()2211x y -+=， 所以曲线1C 是以()1,0为圆心，1为半径的圆． 将2C转化为直角坐标方程为10x y ++=，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为2d ==，所以圆上的点到直线的最小距离为211d r -=-=， 故选A ． 【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -．。