解析几何七种常规题型及方法常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x yl a b-=被椭圆C 截得的弦长为，且3e =，过椭圆C 的直线2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为，得228a b +=，………①又e =，即2223c a =，所以223a b =………………………….②联立①②得226,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22162x y +=.⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，251860x x -+= 由韦达定理知，1212186,55x x x x +==从而125x x -==，由弦长公式，得12AB x =-==，即弦AB 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 121221-=，x y 222221-=。

两式相减得()()()()x x x x y y y y 12121212120+--+-=。

又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x yy y x x ---=·。

又k y y x x y x =--=--121212， 代入得24022x y x y --+=。

当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是24022x y x y --+=说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

例2、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。

思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则有2211228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-又12128,2x x y y +=+= 则21214y y k x x -==-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=. 解法2：设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+由()2418y k x y x⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，整理得283280ky y k --+=.设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128y y k+=， 又∵P 是AB 的中点，∴1212y y +=，∴824k k=⇒= 所以所求直线AB 的方程为4150x y --=.由241508x y y x --=⎧⎨=⎩ 整理得，22300y y --=，则12122,30y y y y +==-有弦长公式得，12AB y y =-==点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵）另解：⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l的方程为： )2y x =-，代入椭圆C 的方程)222162y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简得，251860x x -+=由韦达定理知，1212186,55x x x x +== 由2l 过右焦点，有焦半径公式的弦长为()1225AB a e x x =-+=.即弦AB 的长度为5点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式a k x x k AB /1||1||2212∆+=-+=就能解决问题。

但实际中，除个别简单题（本文从略）外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。

本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。

一、两线段相等类型I 有相同端点的不共线线段 例1、（2204，西城区二模）已知定点)4,2(--A ，过点A 做倾斜角为︒45的直线L ，交抛物线)0(22>=p px y 于A 、B 两点，且||||||AC BC AB 、、成等比数列 （1）求抛物线方程；（2）问（1）中抛物线上是否存在D ，使得||||DC DB =成立？若存在，求出D 的坐标。

策略分析：由于D 、B 、C 三点不共线，要使得||||DC DB =成立，只需取BC 中点P ，满足BC DP ⊥。

由于这种类型题目的常见性与基础性，我们再举一个例子作为练习： 例2、（2005，二模）已知)2()2(),,1(),0,(b a b a y b x a-⊥+==（1）求点P(x,y)的轨迹方程C ；（2）若直线L ：b kx y +=（0≠k ）与曲线C 交与AB 两点，D(0,－1)，且有||||BD AD =，试求b 的取值围。

类型II 共线线段例3、直线L 与x 轴不垂直，与抛物线22+=x y 交于AB 两点，与椭圆2222=+y x 交于CD 两点，与x 轴交于点M )0,(0x ，且||||BD AC =，求0x 的取值围。

策略分析：不妨设A ),(11y x 在B ),(22y x 下方，C ),(33y x 在D ),(44y x 下方，由于ABCD 共线，要使||||BD AC =,只需4213x x x x -=-，即4321x x x x ==+，结合韦达定理可得结果。

二、三线段相等 类型I 正三角形 例 4、（2003，春招）已知动圆过定点P(1,0)且与定直线L ：x=－1相切，点C 在L 上 （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P 且斜率为3-的直线与曲线M 相交于AB 两点①问三角形ABC 能否为正三角形？若能，求点C 坐标；若不能，说明理由；②问三角形ABC 能否为钝角三角形？若能，求点C 纵坐标的取值围；若不能，说明理由。

策略分析：对于本题涉及的正三角形问题，其突出特点是，落在直线上的两个顶点实际是已知的。

所以，只需设C （－1，y ），根据||||AB BC =和||||AB AC =分别列方程求y 值，判断两个y 值是否相等。

例5、（2005，学海大联考六）如图，在直角坐标系中，点A(-1,0)、B(1,0)、P(x,y))0(≠y ，设BP OP AP ,,，与x 轴正方向的夹角分别为αβγ，且πγβα=++ (1)求点P 的轨迹G 的方程；(2)设过点C )1,0(-的直线L 与轨迹G 交于 不同的两点MN ，问在x 轴上是否存在一点 E )0,(0x 使MNE ∆为正三角形？策略分析：设直线L ：y=kx-1，由韦达定理求出MN 中点F 的坐标，再根据1-=•MN EF k k ，求出)0,34(2kkE --；利用弦长公式求出｜MN ｜，再根据||||23EF MN =解得3±=k 。

注意代入∆验证。

类型II 共线线段 例6、（2004，高考卷）设直线λ与椭圆1162522=+y x 相交于AB 两点，λ又与双曲线122=-y x 相交于CD 两点，CD 三等分线段AB ，求λ的方程。

策略分析：实质是||||||DB CD AC ==。

当λ与x 轴垂直时，λ方程为24125±=x ；当λ与x 轴不垂直时，先由||||DB AC =，利用例3的方法，求得0=k 或0=b ，然后分类讨论求出ABCD 的横坐标，利用CD AB 3=，得出1316±=b 和2516±=k 。

三、线段成比例类型I 两个已知点一个未知点 例7、（2005，黄冈调研）已知椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b x a x ，双曲线12222=-bx a x 的两条渐近线为21,L L ，过椭圆的右焦点F 做直线L ，使1L L ⊥，又L 与2L 交于点P 。

设L 与椭圆的两个交点由上到下依次为AB ， （1）当21L L 与夹角为︒60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程； （2）当AP FA λ=时，求λ的最大值。

策略分析：F 点和P 点的坐标皆可求，根据定比分点公式，求出A 点坐标，代入椭圆方程即可。

类型II 一个已知点两个未知点 例8、(2004，全国卷)设双曲线C ：1222=-y ax （a>0）与直线L ：1=+y x 相交于两个不同的点AB（1）求双曲线的离心率e 的取值围；（2）设直线L 与y 轴的交点为P ，且125=，求a 值。

策略分析：设A ),(11y x 、B ),(22y x 、)1,0(P ，由125=知21125x x =，于是，2211217x x x =+，2221125x x x =，前式平方除以后式消掉2x ，结合韦达定理即可求出a 。

注：更一般的，若某直线与圆锥曲线交点AB ，且PB PA λ=，其中，),(00y x P ，则)()(0201x x x x -=-λ，可以算出)()(0201x x x x -+-和))((0201x x x x --，利用例8思想求解；或者，使用以下技巧22102122102122101020201)()(22)(1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++--+=--+--=+λλ，结合韦达定理。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。