2 i

nX
2
i 1
i 1
故 S 2
1
n
(
X
2 i

n
X
2
)
.
n 1 i1
(3)
因
E
(
X
i
)

u,
D(
X
i
)


2
,故
E
(
X
2 i
)

D( X i ) (EX i )2
2
u2.
同理因
E(X
)

u, D(X
)


2
,故
E(X
2
)


2
u2
.
n
n
从而
5
E(s2 )
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
2
k, 0 x 1,0 y x,
f（x，y）=
0,
其他.
试确定常数 k，并求 E（XY）.

1
x
1
【解】因
f (x, y)dxdy dx kdy k 1, 故 k=2

00
2

1
x
E(XY )
100
C110C940 0.340 C5
100
C120C390 0.070 C5
100
C130C920 0.007 C5
100
C140C190 0 C5
100
5
C150 0 C5
100
故 E( X ) 0.583 0 0.3401 0.070 2 0.007 3 0 4 0 5
1.设随机变量 X 的分布律为
习题四
X
1
0
1
2
P
1/8
1/2
1/8
1/4
求 E（X），E（X2），E（2X+3）.
1 1 1 11 【解】(1) E( X ) (1) 0 1 2 ;
8 2 8 42
(2) E( X 2 ) (1)2 1 02 1 12 1 22 1 5 ;
f（x）=

1 4
e

x 4
,
x 0,
0,
x 0.
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备， 工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值：100 元和200 元
8
2
8
44
1 (3) E(2 X 3) 2E( X ) 3 2 3 4
2
2.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差.
【解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X，则 X 的分布律为
X0
1
2
3
4
P C590 0.583 C5
【解】因 P1 P2 P3 1……①,
又 E( X ) (1)P1 0P2 1P3 P3 P1 0.1……②, E( X 2 ) (1)2 P1 02 P2 12 P3 P1 P3 0.9 ……③
由①②③联立解得 P1 0.4, P2 0.1, P3 0.5.
4.袋中有 N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白 球的概率是多少？
【解】记 A={从袋中任取 1 球为白球}，则
1
N
P( A)全概率公式 P{A | X k}P{X k}
k 0
Nk
1N
P{X k} kP{X k}
1
n
2
2
( Xi nX )；
n 1 i1
（3） 验证 E（S2）=σ2.
1 n 1 n
1n
1
【证】(1)
E(X )

E
n
i 1
Xi


n
E(
i 1
Xi)

n
i1
E( Xi )

nu n

u.
1 n 1 n
1n
D(X )

D
n
i1
12 11
329 P{X 2} 0.041,
12 11 10
3 2 19 P{X 3} 0.005.
12 11 10 9
于是，得到 X 的概率分布表如下：
X
0
1
2
3
P
0.750
0.204
0.041
0.005
由此可得 E( X ) 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 0.301.
118 4 5 68.
7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求 E（3X2Y）， D（2X3Y）.
【解】(1) E(3X 2Y ) 3E( X ) 2E(Y ) 3 3 2 3 3.
(2) D(2 X 3Y ) 22 D(X ) (3)2 DY 412 9 16 192.
出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和 D（X）.
【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为 0，1，2，
3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
9 P{X 0} 0.750,
12
39 P{X 1} 0.204,
0.501,
5
D( X ) [xi E( X )]2 Pi
i0
(0 0.501)2 0.583 (1 0.501)2 0.340 (5 0.501)2 0 0.432.
3.设随机变量 X 的分布律为
X
1
0
1
P
p1
p2
p3
且已知 E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求 P1，P2，P3.
【解】 Cov(3X 2Y 1, X 4Y 3) 3D( X ) 10Cov(X ,Y ) 8D(Y )
3 2 10 (1) 8 3 28
(因常数与任一随机变量独立，故 Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

E
1

n
1
(
n i1
X
2 i

nX
2 )

1 [E(
n 1
n i1
X
2 i
)

nE( X
2
)]

1
[
n
E
(
X
2 i
)

nE
(
X
2
)]
1 i1

1
n(
2

u2)
n
2
u2


2.
n 1
n
15.对随机变量 X 和 Y，已知 D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1, 计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）.
14.设 X1，X2，…，Xn 是相互独立的随机变量，且有 E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…， n，记
1
X
n
X i , S 2 ，S2=
1
n
(Xi X )2 .
n i1
n 1 i1
2 （1） 验证 E( X ) =μ， D( X ) = ；
n
（2） 验证 S2=
k0 N
N k0
1
n
E(X ) .
N
N
5.设随机变量 X 的概率密度为
x, 0 x 1,
f（x）= 2 x, 1 x 2,

0,
其他.
求 E（X），D（X）.
【解】 E(X )

xf (x)dx
1 x2dx
2
x(2 x)dx
1
2
E( X ) 0 x2xdx 3 ,
E(Y ) ye( y5)dy令zy5 5 ezdz zezdz 5 1 6.
5
0
0
由 X 与 Y 的独立性，得
2 E( XY ) E( X )E(Y ) 6 4.
3
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因 X 与 Y 独立，故联合密度为
2xe( y5) , 0 x 1, y 5,
f (x, y) fX (x) fY ( y)
0,
其他,
于是
E( XY ) 1 xy2xe( y5)dxdy 1 2x2dx ye( y5)dy 2 6 4.
50
E(X 2)
x2 f (x)d(x)
x2 2k 2 xek2x2
1 .

0
k2
2
故
D( X
)

E(X
2)
[E(X
)]2

1 k2


π 2k

4π .
4k 2
12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取