非平稳和季节时间序列模型分析方法
• 在第四章中，我们介绍了非平稳时间序列 模型，但是在前面的讨论中，对于时间序 列的特性分析，以及模型的统计分析都集 中于平稳时间序列问题上。本章将介绍几 个非平稳时间序列的建模方法，并且分析 不同的非平稳时间序列模型的动态性质。
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§8.1 ARIMA模型的分析方法
• 8.1.1 ARIMA模型的结构 • 具有如下结构的模型称为求和自回归移动平均(Autoregressive Integrated Moving Average)，简记为ARIMA(p,d,q)模型： ( B)d X t ( B) t E ( t ) 0, Var ( t ) 2 , E( t s ) 0, s t • (8.1) E ( X ) 0, s t s t • 式中：
t t 1 t 1 2 t 2
( B) t
• 式中， 1, 2 , 的值由如下等式确定：
( B)(1 B)d ( B) ( B)上海财经大学 统计学系 Nhomakorabea15
• 如果把 * ( B) 记为广义自相关函数，有
* ( B) ( B)(1 B)d 1 1B 2 B2
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8.1.3 ARIMA模型建模
• 在掌握了ARMA模型建模的方法之后，尝试使用ARIMA 模型对观察序列建模是一件比较简单的事情。它遵循如 下的操作流程，如下图所示：
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图8.3 ARIMA模型建模流程
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8.1.4 ARIMA模型预测
• 在最小均方误差预测原理下，ARIMA模型的预测和ARMA 模型的预测方法非常类似。 ARIMA(p,d,q)模型的一般表示 方法为： (B)(1 B)d X t ( B)t • 和ARMA模型一样，也可以用历史观测值的线性函数表示 它： X
( B ) Xt t ( B)
d
(8.2)
• 式中， t }为零均值白噪声序列。 { • 由式(8.2)显而易见，ARIMA模型的实质就是差分运算与 ARMA模型的组合。这一关系意义重大，这说明任何非平 稳序列只要通过适当阶数的差分运算实现差分后平稳，就 可以对差分后序列进行ARMA模型拟合了。而ARMA模型 的分析方法非常成熟，这意味着对差分平稳序列的分析也 将是非常简单、非常可靠的了。
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• 例如，设ARIMA(1,1,1)模型
1 0.5B1 B Xt 1 0.3B t ,
t ~ i.i.d.N 0,1
• 图8.1是给出的ARIMA(1,1,1)模型一个模拟 数据，样本容量为200，可以看出时间趋势 是非常明显的。图8.2是经过一阶差分得到 的数据。经过一阶差分我们看到下降的时 间趋势被去掉，新的序列看起来是平稳的。
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• 4. 针对平稳序列{X t } 的建立ARMA模型 • (1) 画出序列 {X t }的自相关图，如图。根据该图，我们可 以初步判断该序列的偏自相关图一阶截尾，而针对自相 关图并不能马上做出判断。
i 1
p
( B) ( B)d [ (1 i B)](1 B) d
i 1
p
(8.4)
• 由式(8.4)容易判断，ARIMA(p,d,q)模型的广义自回归系 数多项式共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在 单位圆上。因为有d个特征根在单位圆上而非单位圆内， 所以当d 0 时，ARIMA(p,d,q)模型不平稳。
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• 二、方差齐性 • 对于ARIMA(p,d,q)模型，当d 0 时，不仅均值非平稳，序列方差也 非平稳。以最简单的随机游走模型ARIMA(0,1,0)为例：
X t X t 1 t X t 2 t t 1 X 0 t t 1 1
• 则
Var( X t ) Var( X 0 t t 1 1 ) t 2
• 这是一个时间的递增函数，随着时间趋向无穷，序列 { X t }的方差也 趋向无穷。 • 但1阶差分之后，
X t t
• 差分后序列方差齐性
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Var(X t ) 2
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图8.4
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图8.5
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•
(2) 对该序列做单位根检验，原假设：；备择假设：， 检验结果如图8.4。
图8.6
根据图8.6的检验结果，我们可以认为这一序列非平稳。
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• 2. 对原序列取对数并分析 • 由于这一序列有着非常明显的指数趋势，因此我们对 它进行取对数的运算，以消除指数趋势的影响，将取对 数后的序列命名为 yt ，即 yt ln( NX ) 。 • 作出序列 {yt } 的时序图与自相关图分别如图8.7，8.8。
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• 例8.1 对1950年—2005年我国进出口贸易总额数据（单 位：亿元人民币）序列建立ARIMA模型（数据见附录 1.15） 1. 对原序列（NX）的分析 (1) 做出1950年—2005年我国进出口贸易总额数据 （NX）的时序图及自相关图，如图8.4，图8.5。
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图8.1 ARIMA(1,1,1)模型一个模拟数据
图8.2 模拟数据的一阶差分数据
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• 求和自回归移动平均模型这个名字的由来 是因为阶差分后序列可以表示为：
i d X t (1)d Cd X t 1 i 1 d
• • 列的若干序列值的加权和，而对它又可以 拟合自回归移动平均(ARMA)模型，所以 称它为求和自回归移动平均模型。
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d! C 式中， i !(d i )!，即差分后序列等于原序
i d
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• • • • • • • •
特别地， 当d=0时，ARIMA(p,d,q)模型实际上就是ARMA(p,q)模型； 当p=0时，ARIMA(o,d,q)模型可以简记为IAM(d,q)模型； 当q=0时，ARIMA(p,d,0)模型可以简记为ARI(p,d)模型. 当d=1,p=q=0时，ARIMA(0,1,0)模型为：
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8.1.2 ARIMA模型的性质
• 一、平稳性 • 假如服从ARIMA(p,d,q)模型：
( B)d X t ( B) t
• 式中：
d (1 B) d ( B) 1 1 B p B p ( B) 1 1 B q B q
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• 3. 对序列 {Y } 进行查分处理
t
• •
我们将序列{Yt }进行一阶差分处理，得到一个新序列{X t }，即 X t (1 B)Yt 。 画出序列{X }的时序图，并进行相应的单位根检验，如图8.10，图8.11。
t
• •
图8.10 图8.11 根据上述结果，可以认为这一序列已经平稳，接下来，可以针对该序 列做进一步的建模拟合。
• 真实值等于预报值加上预报误差：
X t l (l t l 1 t 1 l 2 t2 ) ( t1 1 tl1 l1 t1 ) ˆ =xt (l ) et (l )
2 • 期预报的方差为： [et (l )] (1 1 t21 ) 2 Var
d (1 B) d ( B) 1 1B p B p，为平稳可逆ARMA(p,q)模型的自回归系数多项式 ( B) 1 1B q B q，为平稳可逆ARMA(p,q)模型的移动平滑系数多项式
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• 式(8.1)可以简记为：
•
( B) ( B)d， ( B )被称为广义自回归系数多项式。显然 记
ARIMA模型的平稳性完全由 ( B) 0 的根的性质决定。
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• 因为阶差分后平稳，服从ARMA(p,q)模型，所以不妨设
• 则 • •
( B) (1 i B), i 1; i 1, 2, , p
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• 1905年8月，雷利爵士(Lord Rayleigh)对卡尔· 皮尔逊的这个问题作出 了解答。他算出这个醉汉离初始点的距离为至的概率为：
2 r 2 / nl 2 e r r 2 nl
• 且当n很大时，该醉汉离初始点的距离服从零均值正态分布。这意味 着，假如有人想去寻找醉汉的话，最好是去初始点附近找他，该地 点是醉汉未来位置的无偏估计值。 • 作为一个最简单的ARIMA模型，随机游走模型目前广泛应用于计量 经济学领域。传统的经济学家普遍认为投机价格的走势类似于随机 游走模型，随机游走模型也是有效市场理论(Efficient Market Theory) 的核心。
• 容易验证 , ,的值满足如下递推公式：
1 2
1 1 1 2 1 1 2 2 j 1 j 1 p d j p d j
• 式中， j 0, j 1； j 0, j q
图8.7
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图8.8
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•
依然对序列 { yt }做单位根检验，检验结果如图8.9。
• •
图8.9
根据这一检验结果，我们看到这一序列依然没有平稳， { yt } 结合图8.7和图8.8，我们看到在序列 中有着明显的增 长趋势，因此我们还需要对其进行差分处理。
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* ˆ xt (l ) * t 1 t 1 * t 2 0 2