新人教版八年级上学期全等三角形证明题一.解答题（共10小题）1. （泉州）如图，已知AD是厶ABC的中线，分别过点B、C作BE丄AD于点E, CF丄AD交AD的延长线于点F,求证：BE=CF .2. （河南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片（1）操作发现如图2，固定△ ABC，使△ DEC绕点C旋转，当点①线段DE与AC的位置关系是_________________ ②设厶BDC的面积为S1, △ AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是（2）猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC和厶AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知/ ABC=60 °点D是角平分线上一点，BD=CD=4 , DE // AB交BC于点E （如图4）.若在射线BA上存在点F,使DCF=S A BDE，请直接写出相应的BF的长.D恰好落在AB边上时，填空:團1 區23. (大庆)如图，把一个直角三角形 ACB (/ ACB=90 °绕着顶点B 顺时针旋转60°使得点C 旋转到 AB 边上的一点 D ，点A 旋转到点E 的位置.F , G 分别是BD ，BE 上的点，BF=BG ，延长CF 与DG 交 于点H .(1) 求证：CF=DG ;(2) 求出/ FHG 的度数.4. (阜新)(1)如图，在△ ABC 和厶ADE 中，AB=AC , AD=AE , / BAC= / DAE=90 °① 当点D 在AC 上时，如图1,线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；② 将图1中的△ ADE 绕点A 顺时针旋转％角(0°< aV 90° ,如图2,线段BD 、CE 有怎样的数量关系和 位置关系？请说明理由.(2)当△ ABC 和厶ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD 、CE 在(1 )中的位置关系仍 然成立？不必说明理由.甲: AB : AC=AD : AE=1 , / BAC= / DAE M 90°乙: AB : AC=AD : AE M l , / BAC= / DAE=90 °丙: AB : AC=AD : AE M, / BAC= / DAE M 90°5.(仙桃)如图所示，在△ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE // BC,如图①，然后将△ ADE 绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=2BD，EN~CE,得到图③，请解答下列问题:(1)若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是_________________ ;②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、/ MAN与/BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=k?AC (k> 1),按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、/ MAN 与/ BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.6. （四川）CD经过/ BCA顶点C的一条直线，CA=CB . E, F分别是直线CD上两点，且/ BEC= / CFA= / a.（1） 若直线CD 经过/ BCA 的内部，且E , F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：① 如图 1,若/ BCA=90 ° / «=90 °则 BE ____________ CF ; EF _____________ |BE - AF| （填 \”， Z ”或=”）；② 如图2,若0°< Z BCA V 180°，请添加一个关于 / a 与/BCA 关系的条件 ___________________ ，使① 中的两 个结论仍然成立，并证明两个结论成立.（2） 如图3，若直线CD 经过Z BCA 的外部，Z a = Z BCA ，请提出EF ,BE, AF 三条线段数量关系的合 理猜想（不要求证明）.7.（绍兴）课外兴趣小组活动时， / DAB=60 ° / B 与/ D 互补，特殊化，看如何解决该问题.许老师出示了如下问题：如图1 ,己知四边形ABCD中，AC平分/ DAB , 求证：AB+AD= 7；AC .小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD2 B= / D”，如图2，可证AB+AD=“^AC;（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.（请你补全证明）& （常德）如图，已知AB=AC ,（1）若CE=BD，求证：GE=GD ;（2）若CE=m?BD （m为正数），试猜想GE与GD有何关系.（只写结论，不证明）G9. （泰安）（1）已知：如图①，在△ AOB 和厶COD 中，OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD=60 ° 求证：①AC=BD ;② / APB=60 度；（2）如图②，在△ AOB和厶COD中，若OA=OB，OC=OD，/ AOB= / COD= a,贝U AC与BD间的等量关系式为_ _ ；Z APB的大小为_ _ ;（3）如图③，在△ AOB 和厶COD 中，若OA=k?OB, OC=k?OD （k> 1）, Z AOB= Z COD= a,贝U AC 与BD间的等量关系式为_______________ ; Z APB的大小为 ________10. （南宁）（A类）如图，DE丄AB、DF丄AC .垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）① AB=AC ;② BD=CD ;③ BE=CF 已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为求证：BE=CF已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为求证：BD=CD已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为求证：AB=ACE、F, AB=AC , BD=CDE、F, AB=AC , BE=CFE、F, BD=CD , BE=CF（B类）如图，EG// AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）•① AB=AC ;② DE=DF ;③ BE=CF已知：EG // AF , AB=AC , DE=DF 犬求证：BE=CF /\新人教版八年级上学期全等三角形证明题参考答案与试题解析一.解答题（共10小题）1. （泉州）如图，已知AD是厶ABC的中线，分别过点B、C作BE丄AD于点E, CF丄AD交AD的延长线于点F,求证：BE=CF .考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：根据中线的定义可得BD=CD，然后利用角角边”证明△ BDE和厶CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证.解答：证明：•/ AD是厶ABC的中线，••• BD=CD ,•/ BE 丄AD , CF丄AD ,•/ BED= / CFD=90 °在厶BDE和厶CDF中，ZBED=ZCKD=90"ZBDE=ZCDF ,BD=CD••• △ BDE ◎△ CDF （AAS ）,• BE=CF.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.2. （河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC 重合放置，其中/ C=90° / B= / E=30°（1）操作发现如图2，固定△ ABC，使△ DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE // AC(2)猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S i与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC和厶AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知/ ABC=60 °点D是角平分线上一点，BD=CD=4 , DE // AB交BC于点E (如图4).若在射线BA 上存在点F,使S^ DCF=S A BDE，请直接写出相应的BF的长.考点：全等三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：(1)① 根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得/ ACD=60 °然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30。

角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=」AB，然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC 2的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据旋转的性质可得BC=CE , AC=CD ,再求出/ACN= / DCM ,然后利用角角边”证明△ ACN 和厶DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；(3)过点D作DF1 /BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF 1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2丄BD，求出/ F1DF2=60°从而得到△ DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出/ CDF1=Z CDF2，利用边角边”证明△ CDF1和厶CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△ BDE 中求出BE的长，即可得解.解答：解：(1)①•/ △ DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，△ AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S23C2••• AC=CD ,•/ / BAC=90 °- / B=90 °- 30°=60 °•△ ACD是等边三角形，•/ ACD=60 °又•/ / CDE= / BAC=60 °•/ ACD= / CDE,• DE // AC ；②•/ / B=30 ° / C=90 °1• CD=AC= =AB ,••• BD=AD=AC ,根据等边三角形的性质，△ ACD的边AC、AD上的高相等，•△ BDC的面积和△ AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等) 即S仁S2;故答案为：DE // AC ; S仁S2；(2)如图，•/△ DEC是由△ ABC绕点C旋转得到，• BC=CE , AC=CD ,•/ / ACN+ / BCN=90 ° / DCM+ / BCN=180 °- 90 °90 °•/ ACN= / DCM ,•••在△ ACN和厶DCM中，.'I--,AC=CD•△ ACN ◎△ DCM (AAS ),• AN=DM ,•△ BDC的面积和△ AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等) 即S1=S2；(3)如图，过点D作DF i / BE,易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S^DC F=S A BDE ,过点D作DF2丄BD ,•/ / ABC=60 °•/ F1DF2=Z ABC=60 °•△ DF1F2是等边三角形，• DF 1=DF2,••• BD=CD , / ABC=60 °点D是角平分线上一点，•/ DBC= / DCB=2 >60°=30 °•/ CDF1=180 °- 30°150°/ CDF2=360 °- 150°- 60°150 °•/ CDF1= / CDF2,•••在△ CDF1 和厶CDF2 中,m 二DL“ ZCEF^ZCDF^CD=CDL•△CDF1BA CDF2 ( SAS),•点F2也是所求的点••• / ABC=60 °点D是角平分线上一点，DE // AB ,•/ DBC= / BDE= / ABD=2 >60°=30 °又•/ BD=4 ,2BF I=「；BF2=BF I+F1F2=_；+「；=：3 ' 3 3 3 ?故BF的长为—或：;.3 3££C(3 )題圜点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，(3)要注意符合条件的点F有两个.3. (大庆)如图，把一个直角三角形ACB (/ ACB=90 °)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置.F, G分别是BD , BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H.(1)求证：CF=DG；(2)求出/ FHG的度数.考点：全等三角形的判定与性质.分析：(1)在厶CBF和厶DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；(2)根据全等三角形的对应角相等，即可证得/ DHF= / CBF=60 )从而求解.解答：(1)证明：•••在△ CBF和厶DBG中，r BC^BD•ZCBF=ZBDG=60°,血BG•••△ CBF◎△ DBG (SAS),••• CF=DG；(2)解：•/ △ CBF◎△ DBG ,•/ BCF= / BDG ,又•/ / CFB= / DFH ,•/ DHF= / CBF=60 )• Z FHG=180。