C
C
yc 1 (1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l )
EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4
5ql 3
( )
128 EI
30
例 6—11 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2 MP A l/2
Mi
ql2 / 2
ql2 / 2
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
MP图 此时
b
ya=2/3×c－1/3×d
d
ya
yb M图
yb=2/3×d－1/3×c
返19回
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
叠加后的抛物线
图形（）与原抛物
线图形（）的面积
QA
MB
大小和形心位置以及
形心处的竖标仍然是
MA
QB
相同的。
MA
MB
qL2
1
c
yc
EI
1 ( 2 l ql2 1 l 1 l ql2 2 l EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2
C q
1 l ql2 1 l ) 22 8 32
ql2 / 8
17 ql4 ()
384 EI
ql2 / 32
ql2 / 8
31
例 6—11 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
w= dW = P Cos dS
（a）
返5回
常力功
变力功 力偶功
P
A
B
△
W= P△ Cos (b)
由A→B, 力由0→P
W=
1 2
P△ Cos
（c）
P
A
d
常力 W= M·
B
（d）
变力
W=
1 2
M·
P
返6回
（2）实功与虚功 实功：力本身引起的位移上所作的功。
例如：
A
P1
1
B
△1
W=
A
P2
2
B
虚功：力在其它
MP图
解：1. 作实际状态的MP图。
2. 设置虚拟状态并作 。
yC=h h
M图
3. 按式（6—9）计算
∆CD=∑
yC
EI
=
1 EI
(
2 3
qL2
8 L)h =
qhL2 12EI
（→←）
返22回
例 6—3 求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。
PL
C
B
2
PL
2
L
EI
EI
P
A
PL
PL
2P
4
1
DL
PL
MP图
d=MPdx
A MP
面积
MP图 B
（1）杆轴为直线；
dx
（2）EI=常数；
（3） 和M两个弯矩图 O 中至少有一个是直线图形。
M
xA
Bx
上述 积分可以得到简化。
设等截面直杆AB段的两个弯矩图中， 为一段直线，MP图为任意
形状， 则上式中的ds可用dx代替。故有 =xtg,且tg=常数，则
∫ ∫ tg
l
ll
11
反对称弯矩图EI 2
3
10 Pl3 ()
3 EI
M i ABX
yc 0
EI
AB
yc 0
EI
11
对称弯矩图
11
1
Mi
Mi
l
l
1
33
作变形草图
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：
Pl
PP
1
1
1
1
34
练习
求B点水平位移。
4EI
Pl
l
EI
EI
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
27
例 6—9 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。
C
lq
1 1 1
A
B
Mi
ll
1/ l
ql2 / 4
ql2 / 4
0
q
MP
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc 1 2 ql 2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
沿任一指定方向 k—k 上的位移△K 。
利用虚功原理计算
c1 c2
Ｒ１ Ｒ２
实际状态－位移状态 虚拟状态－力状态
c1、c2、c3、△K du、d、ds
N、M、Q、Ri、PK 1
外力虚功 W=
=
(6－4)
内力虚这功便是W平i=面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结
果可为得 正，所求位移△K与假设的 这种方法又称为单位荷载法。
变形：是指结构形状的改变。
位移：是指结构各处位置的移动。
2. 位移的分类
线位移：
角位移： A
(△A)
△Ay △Ax
绝对位移 △C △D
相对位移 △CD= △C+ △D
△C C C′ P A
P
A
△Ay △A
□
△Ax
A′
A
△D D′ D
B
返3 回
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
1 (1 Pl l 2 l Pl l l)
EI 2
3
4 Pl 3 ()
26
3 EI
例 6—7 求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2 8
B
M图
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
1
第六章 结构位移计算
§6—1 概述
§6—2 变形体系的虚功原理
§6—3 位移计算的一般公式
A′
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§6—5 图乘法
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理 2
§6—1 概 述
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为
基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论
静定结构的位移计算。
返4回
§6—2 变形体系的虚功原理 1. 功、实功与虚功
（1）功
P B
A
dW=P dS Cos
17 ql4 ()
384 EI
ql2 / 8
ql2 / 8
32
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位
移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。
Pl
l
PP
AB
ABY
对称yc 结构的对称弯矩图与
其E反I 对称弯矩图图乘,结果
MP 1 (1 为l P零l. 2 l 4 l Pl l 2)
式(6—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功 Wi——内力虚功
（6—1）
返8回
内力虚功的计算
给定力状态 给定位移状态
微段dS上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+QdS+Md
整个结构内力的变形虚功为
Wi=
（6—2)
虚功方程为
W=
（6—3)
AP
M
RA
q
Q
N
q B
dS
RB
N+dN
力状态
Q+dQ
ds
A
B
dS
二次抛物线
L
L/2 顶点
二次抛物线 1=2/3(hL) 2=1/3(hL)
3L/8 5L/8
1
2
顶点
4L/5
L/5
L
返18回
4 .图乘的技巧
当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如： a
c
a
c
L
则
b
MP图
ya
yb d
M图
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d
有
tEgIxC
△KP=
(6－9)
yC E16I
返回
2. 图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
3. 常用的几种简单图形的面积和形心
2L/3
L/3
形心
L
h
h
❖a
b
形心
（L+a)/3
(L+b)/3
L
返17回
M图
解： 1. 作MP图、 ；
2. 图乘计算。
△ = Ay
∑
yC
EI
=
1 EI
(
L‧L 2
)
PL 2
-
21EI(L‧
32L) P4L=
1P6LE2I返（23回↓）