上海大学线性代数2001
一、计算行列式（12%）
二、设为3阶非零方阵，且
1) 求证存在,,,,,
2) 求方程组的基础解系 （12%）
三、用正交线性替换化二次形为标准形 （15%）
四、设为阶实矩阵，且 ，若.求证 （为阶单位矩阵，为的转置阵，表
示的秩） （10%）
五、设是（为奇数）维线性空间上的线性变换，若，。

求证：存在，
使 ，，…，，为的一组基，并求在此组基下的矩阵。

（15%）
六、设是欧式空间上对称变换。

（即是上线性变换，且（，）
=（，），，）。

求证：对任意，都有（，）的充分必要条件是的所有特征值都小于. (14%)
七、设，其中为阶负定矩阵，为维列实向量，为实数。

求证正定充分必
要条件是（12%）.
八、若是正交阵，且特征值为1的重数是。

求证：（表示对应的行列式）（10%）。