x1 x2 2x3 2x1 x2 x3
x4 1 2x4
3
3x1 x2 3x4 5
解
1
(
AM
)
1
0 1
1 2
1 1
2 1
r2 r1
r3 2r1
r4 3r1
1 0
0 1
1 3
1 0
2 1
2 1 1 2 3 0 1 3 0 1
3
1
0
3
5
0 1 3 0 251
r3 r2
并且
k个
Am Ak Amk
Am k Amk （m,k为正整数）
方阵的多项式：
f ( A) a Ak a Ak1 a A a E
k
k 1
1
0
方阵的行列式：
满足: 1 A n A ; 2 AB A B
14
三. 逆矩阵的计算
定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E
非齐次： 通解： X X0 k1 X1 k2 X2 L knr Xnr , 其中 X0 为AX=b 的一个特解；X1 , X2 ,L Xnr 是导出组的一个基础解系。
例. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解:
2x1 4x2 3x1 6x2
5x3 4x3
3x4 2x4
性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后 再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 3
几个重要结论：
a11
(1) D
a 22
a a11 22 ann
ann
(2) D
a1n
a2,n1
n( n1)
(1)
2
a a a 1n 2,n1
n1
a n1 4
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
分别取
x1 x3
2x2
5 7
x4
2 7
x4
x2 x4
1 0
,
x2 x4
0 1
得一个基础解系为:
2
2 7
1
1
0
,
0
2
0
5 7
1
通解:
X k11 k22
（ k1, k2 为任意常数）
24
例. 求下列非齐次线性方程组的通解:
x1 x3 x4 2
30
例. 设
1 2 1
α1
0
,
α
2
1
,
α3
1 ;
1
1
1
0 1 1
β1
1
,
β
2
1
,
β3
2
1
0
1
(1)在R3中求由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵;
(2)求向量=(2, 5, 3)T在基1, 2, 3下的坐标. (3)已知向量在基1, 2, 3下的坐标为(2, 5, 3)T，求 在基1, 2, 3下的坐标。
r4 r2
r2
1 0
0 1
1 3
1 0
2
1
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
同解方程组为: 通解为:
x1 x2
2 1
x3 3x3
x4
x1 2 x%3 x%4 x1 2 1 1
x2 x3
1 x%3
3x%3
x4 x%4
或
x2 x3 x4
1 0
31
解：(1)基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为
性质4：如果某一行（列）是两组数的和，则此行列式就等 于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）以外 全与原来行列式的对应的行（列）一样。
性质5：(i) 行列式某行（列）的元全为零；(ii) 行列式有 两行（列）相同；(iii) 行列式有两行（列）的对应元素 成比例，若上述条件之一满足，则行列式等于0 。
1, 2, 3 1,2,3 M M 1,2,3 1 1, 2, 3
即：
1 2 11 0
M
0 1
1 1
11
1 1
1 1
1 0
2 1
0 1 1 0 1 1 0 1 1
1
2
1
1
1
2
1
3
2
1 3 1 1 0 1 2 4 4
0 1 1
M
1
3
2
2 4 4
aa
11
12
0 D
a22
0 0
a 1n
a2n a a a
11 22
nn
ann
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a 0 11
D a21 a22
0
0
a a11 22 ann
an1 an2 ann 5
四. 行列式的计算 △
1. 利用行列式性质计算：
化为三角形行列式
7
x a1 x L x
a1
a2
an
(a1a2 L an ) 1 1 L 0
L LLL
1 0 L 1
ci c1
n x
x
1
L
a i1 i
a2
x an
i 2, , n (a1a2 L an ) 0
1 L 0
L LLL
0
0 L 1
(1)n1(a1a2 L
an )[
n i 1
x ai
1]
8
例2：
初等列变换 具体包括：对换变换、倍乘变换、倍加变换
△ 用初等行变换法求矩阵的逆矩阵
要求可逆矩阵A的逆矩阵, 只需对分块矩阵
( A E)施行初等行变换,当把A变成E时,原来的E就
变成了 A1 .
即， A, E 初 等行变 换 E，A1
17
3 0 1
例:
设
A
1
1
0
且
AX
E 2X,求矩阵X.
2n
1 j1 2 j2
njn
j1 j2 jn
a a a
n1
n2
nn
例：五阶行列式， a13a52a41a35a24
a13a52a41a35a24 a13a24a35a41a52
带正号
2
三. 行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
性质3：用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有 元素，等于用数 k 乘此行列式。
29
(2) 设在基1,2,3下的坐标为 X ( x1, x2 , x3 )T
x1
1 0 1 1 1 1
X
x2
M
1
2
1
3
2
2
x3
3 2 4 4 3
x1 1/ 2
x2
7
/
2
x3 9 / 2
在基1,2,3下的坐标为(-1/2, -7/2, 9/2)T.
0 1 4
解： Q AX E 2X , (A 2E)X E,
X ( A 2E)1 E,
1 0 1
A
2E
1 0
1 1
0 2
2 1 1 1
X ( A 2E )1 E
2 1 1
2
2 1
1 1 1
18
第三章 线性方程组
一. 向量组的线性相关性
1 0
1 2
,
B
2 0
3 3 ,
求： 2A(B E)1 _4_
15
1. 解矩阵方程 (1)AX B X A1 B (2) XA B X BA1
2. 克莱姆法则（求解线性方程组）
AX b
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
16
四. 矩阵的初等变换
初等行变换 初等变换
0 0
4x1 8x2 17x3 11x4 0
解
2 4 5 3 r2 3/ 2r1 2 4 5 3
A
3
6
4
2
r3 2r1
0
0
7 2
5 2
4 8 17 11
0 0 7 5
2/ 7r 1
r3 7r2
r1 5r2
1/ 2r1
0 0
2 0 0
0 1 0
2 7
5
7
0
r2
23
所以, 方程组等价于
a11 a12
记作
A
a 21
a 22
a m
1
a m2
a1n
a 2n
a mn
简记为： Amn
实矩阵: 元素是实数
一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、
对角阵、单位阵
12
二. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
唯一解
齐次： 化A为阶梯形，比较 rA,n之间的关系
rA n rA n
唯一解（零解）
无穷多解 （非零解）
四. 线性方程组解的结构 △
齐次：基础解系～解集合中的一个极大线性无关组( X1, X2,L , Xnr ) 通解： X k1 X1 k2 X2 L knr Xnr , k1 , k2 ,L , knr R
第一章 行列式
一. 排列与反序
行列式的概念定义
二. n 阶行列式的定义
三. 行列式的性质
四. 行列式的计算