24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -，、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式；（2 求tan ABO ∠的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标.24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2y x bx c =++得1,1643c b c =-⎧⎨++=-⎩， ………………………………………………………………（1分）解，得9,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分)所以抛物线的解析式为2912y x x =--……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分）在Rt AOH ∆中，OA =1，4sin sin ,5AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分）∴4sin 5AH OA AOH =∠=，∴322,55OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ∆中，4222tan 5511AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为112y x =--， ……………………………………………（1分）设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1(,1)2m m --那么MN =2291(1)(1)422m m m m m -----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3解方程24m m -=3得2m =± ……………………………………………（1分）解方程243m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）所以符合题意的点N 有4个35(22),(22),(1,),(3,)22--+--- ……………………………………………………………………………………（1分）25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．（1）如图1，当点E与点B重合时，若AE=4，判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由；（2）如图2，当点E在DB延长线上时，求证：AE=2CD；（3）记直线CE与直线AB相交于点F，若56CFEF=，CD = 4，求BD的长．25.解：（1）过点C作CF⊥AB1分）∵∠AED=90°，∠ABC=∠CBD，∴∠∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AE=41分）又∵∠CBD=∠ABC=45°，CD⊥l，∴CD=2，…………………………………………（1分）∴CD=CF=2，∴圆C与直线AB相切.……………………………………………………（1分）（2）证明：延长AC交直线l于点G．………………………………………………（1分）∵∠ACB = 90°，∠ABC =∠GBC，∴∠BAC =∠BGC．∴AB = GB．…………………………………………………………………………………（1分）∴AC = GC．…………………………………………………………………………………（1分）∵AE⊥l，CD⊥l，∴AE∥CD．∴12CD GCAE GA==．…………………………………………………………………………（1分）∴AE = 2CD．………………………………………………………………………………（1分）（3）（I）如图1，当点E在DB延长线上时：过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G，则∠CBD =∠HCB．∵∠ABC =∠CBD，∴∠ABC =∠HCB．∴CH = BH．………（1分）∵∠ACB = 90°，∴∠ABC +∠BAC =∠HCB +∠HCA = 90°．∴∠BAC =∠HCA．∴CH = AH = BH．∵CG∥l，∴56CH CFBE EF==．设CH = 5x，则BE = 6x，AB = 10x．在Rt△ABE中，8AE x==．由（2）知AE = 2CD = 8，∴88x=，得1x=．∴CH = 5，BE = 6，AB = 10．∵CG∥l，∴12HG AHBE AB==，∴HG=3．……………………（1分）∴CG = CH + HG = 8．ACD B(E) l（第25题图1）（第25题图2）l（第25题图1）ACD ElGBHFAF易证四边形CDEG 是矩形，∴DE = CG = 8．∴2BD DE BE =-=．…………………………………………（1分） （II ）如图2，当点E 在DB 上时：同理可得CH = 5，BE = 6，HG = 3．…………………………（1分） ∴2DE CG CH HG ==-=．∴BD =DE + BE = 8．…………………………………………………………………………（1分） 综上所述，BD 的长为2或8．24．已知点A （2，﹣2）和点B （﹣4，n ）在抛物线y=ax 2（a ≠0）上． （1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点P 在y 轴上，且△ABP 是以AB 为直角边的三角形，求点P 的坐标；（3）将抛物线y=ax 2（a ≠0）向右并向下平移，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形ABB ′A ′为正方形，求此时抛物线的表达式． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移． 【分析】（1）把点A （2，﹣2）代入y=ax 2，得到a ，再把点B 代入抛物线解析式即可解决问题．（2）求出直线AB 解析式，再分别求出过点A 垂直于AB 的直线的解析式，过点B 垂直于直线AB 的解析式即可解决问题．（3）先求出点A ′坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）把点A （2，﹣2）代入y=ax 2，得到a=﹣， ∴抛物线为y=﹣x 2， ∴x=﹣4时，y=﹣8， ∴点B 坐标（﹣4，﹣8）， ∴a=﹣，点B 坐标（﹣4，﹣8）．（2）设直线AB 为y=kx+b ，则有，解得，∴直线AB 为y=x ﹣4，∴过点B 垂直AB 的直线为y=﹣x ﹣12，与y 轴交于点P （0，﹣12）， 过点A 垂直AB 的直线为y=﹣x ，与y 轴交于点P ′（0，0），∴点P 在y 轴上，且△ABP 是以AB 为直角边的三角形时．点P 坐标为（0，0），或（0，﹣12）．（3）如图四边形ABB ′A ′是正方形，过点A 作y 轴的垂线，过点B 、点A ′作x 轴的垂线得到点E 、F ．∵直线AB 解析式为y=﹣x ﹣12，∴△ABF ，△AA ′E 都是等腰直角三角形， ∵AB=AA ′==6，∴AE=A ′E=6，∴点A ′坐标为（8，﹣8），∴点A 到点A ′是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，∴抛物线y=﹣x2的顶点（0，0），向右平移6个单位，向下平移6个单位得到（6，﹣6），∴此时抛物线为y=﹣（x﹣6）2﹣6．25．已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．【考点】三角形综合题．【分析】（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H，先证明BF⊥DE，EF=DF，再利用△ABH∽△DBF，得=，求出DF即可解决问题．=BD•AH，计算即可．（2）先证明四边形ADBE是平行四边形，根据S平行四边形ADBE（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形，求出DH、CH即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H．在RT△ABH中，∵∠AHB=90°，∴sin∠ABH==，∴AH=3，BH==4，∵AB=AD，AH⊥BD，∴BH=DH=4，在△ABE 和△ABD中，，∴△ABD≌△ABE，∴BE=BD，∠ABE=∠ABD，∴BF⊥DE，EF=DF，∵∠ABH=∠DBF，∠AHB=∠BFD，∴△ABH∽△DBF，∴=，∴DF=，∴DE=2DF=．（2）如图2中，作AH⊥BD于H．∵AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC，∵AE∥BD，∴∠AEB+∠EBD=180°，∴∠EBD+∠ADC=180°，∴EB∥AD，∵AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴BD=AE=AB=5，AH=3，∴S=BD•AH=15．平行四边形ADBE（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC．如图3中，∵∠ACD=∠AEB（已证），∴A、C、B、E四点共圆，∵AE=EC=AB，∴=，∴=，∴∠AEC=∠ABC，∴AE∥BD，由（2）可知四边形ADBE是平行四边形，∴AE=BD=AB=5，∵AH=3，BH=4，∴DH=BD﹣BH=1，∵AC=AD，AH⊥CD，∴CH=HD=1，∴BC=BD﹣CD=3．24．如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C，与直线y=x+m图象交于AB两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结AC，求∠BAC的正切值；（3）点P为直线AB上一点，若△ACP为直角三角形，求点P的坐标．【分析】（1）先把A点坐标代入y=x+m求出m得到直线AB的解析式为y=x+1，这可求出直线与y轴的交点B的坐标，然后把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；（2）如图，先抛物线解析式配成顶点式得到C（1，0），再利用两点间的距离公式计算出BC2=2，AB2=18，AC2=20，然后利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，于是利用正切的定义计算tan∠BAC的值；（3）分类讨论：当∠APC=90°时，有（2）得点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；当∠ACP=90°时，利用（2）中结论得tan∠PAC==，则PC=AC，设P（t，t+1），然后利用两点间的距离公式得到方程t2+（t+1﹣1）2=20，再解方程求出t即可得到时P点坐标．【解答】解：（1）把A（3，4）代入y=x+m得3+m=4，解得m=1∴直线AB的解析式为y=x+1，∵当x=0时，y=x+1=1，∴B（0，1），把B（0，1），A（3，4）代入y=x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+1；（2）如图，∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴C（1，0），∴BC2=12+12=2，AB2=32+（4﹣1）2=18，AC2=（3﹣1）2+42=20，而2+18=20，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴tan∠BAC===；（3）当∠APC=90°时，点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；当∠ACP=90°时，∵tan∠PAC==，∴PC=AC，设P（t，t+1），∴t2+（t+1﹣1）2=20，解得t1=﹣，t2=（舍去），此时P点坐标为（﹣，﹣ +1），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，1）或（﹣，﹣ +1）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；能运用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形．25．如图，▱ABCD中，AB=8，AD=10，sinA=，E、F分别是边AB、BC上动点（点E不与A、B重合），且∠EDF=∠DAB，DF延长线交射线AB于G．（1）若DE⊥AB时，求DE的长度；（2）设AE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△BGF为等腰三角形时，求AE的长度．【分析】（1）DE⊥AB时，根据sinA=即可解决问题．（2）如图2中，作DM⊥AB于M，根据DG2=DM2+MG2=AGEG，列出等式即可解决问题．（3）分三种情形①BF=BG，②FB=FG，③GB=GF，根据BF∥AD，得出比例式，列方程即可解决．【解答】解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴sinA==，∵AD=10，∴DE=8．（2）如图2中，作DM⊥AB于M，由（1）可知DM=8，AM=6，MG=AB﹣AM=8﹣6=2，∴DG2=DM2+MG2，∵∠DGE=∠DGA，∠GDE=∠A，∴△DGE∽△AGD，∴=，∴DG2=AGEG，∴DM2+MG2=AGEG，∴82+（2+y）2=（8+y）（8+y﹣x），∴y=（0＜x＜8）（3）①当BF=FG时，∵BF∥AD，∴=，∴AD=AG=10，∴y=2，即=2，解得x=2，∴AE=2．②当FB=FG时，∵BF∥AD，∴=，∴AD=DG=10，∵DM⊥AG，∴AM=MB=6，∴AG=12，∴y=4，即=4，解得x=．③当GB=GF时，∵BF∥AD，∠GBF=∠BFG，∴∠A=∠GBF，∠ADG=∠BFG，∴∠A=∠ADG，∵∠A=∠EDG，∴∠EDG=∠ADG，∴此时点E与点A重合，不合题意．综上所述AE=2或时，△BFG是等腰三角形．【点评】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．。