数学教学中的数学美无处不在作者英子指导教师王彩凤[摘要] 新的数学课程标准强调要让学生领会数学之美，作为数学教师在教学过程中适时渗透美的知识和进行数学审美教学是很必要的。

美的基本要素特征是具有形象性、情感性、新颖性和功利性,这些基本特征融入数学的内容之中,形成了有别于其他科学的数学美的基本特征,即直观性、简洁性、统一性和奇异性;因直观而显的亲近愿学；因简洁而简单对称和谐,因统一而和谐抽象,不独立；因奇异而有趣味、有收获;只有在数学教学中让学生进行美的体验,才可以激发学生的学习兴趣,引导学生形成良好的情感态度和意志品质,形成主动学习的学习机制。

[关键词] 数学之美; 数学教学; 美的体验“高中数学课程的具体之一是使学生认识数学的科学价值，应用价值和文化价值，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义”（1）因此,新数学课程理念下的数学教学既要重视数学知识的传授，又要关注数学中的美学属性，使学生在了解和感受数学美的同时，培养起对数学的良好情感和提高对数学的直觉能力和创造思维能力。

一．数学之美数学中没有明显地提到善和美，但善和美不能和数学完全分离。

因为美的主要形式就是秩序性、均衡性、确定性，这些恰好就是数学所要研究的范畴。

所以数学和美不是没有关系的。

数学中的美如美酒,如甘泉,自古以来就吸引着人们的注意力。

古希腊的学者认为球形是最完美的形体;毕达哥拉斯发现了勾股定理,他为直角三角形具有这种简明、和谐的美而赞叹;毕达哥拉斯学派认为“万物皆数,美是数的和谐”;中世纪的伟大学者、艺术家达·芬奇从另一方面感受到了数学美,他认为“黄金分割是美的原则”。

爱因斯坦12 岁时,得到了一本欧几里德几何教科书,它的严谨、明澈和确定,给爱因斯坦留下了不可磨灭的印象;罗素在学习欧几里德几何时,感到这是他一生中的一件大事,他像初恋一样地入了迷,没有想到世界上还会有这样有趣的东西。

数学美比比皆是,正如人们常说的:“哪里有数,哪里就有美。

”数学美不同于自然美或艺术美。

正如英国数理哲学家罗素所说:“数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且具有至高的美,是一种冷而严格的美,这种美不是投合我们天性微弱的方面,这种美没有绘画或音乐的那样华丽装饰;它可以纯净到崇高的地步,能够达到严格仍只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。

”可见数学美是一种完全和谐的美,抽象形式的美。

经历过数学美的体验的数学家们认识到了数学美的价值,对它的存在性以及价值作了深入的探讨,如欧拉、庞加莱等都对数学中美的存在作过论述。

数学美是一种客观存在,是自然美在数学中的反映。

美感,这是人们的一种愉悦感,是心灵上需要的某种适应性。

而数学家对美的感受则着眼于数学的方法和理论,正入数学家庞加莱所说:“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美,这并非华而不实的作风。

”数学方法与理论中的美,就是各个部分之间的和谐与对称,恰到好处的平衡,一句话,那就是井然有序,统一协调,从而使我们对整体以及细节都能清楚地认识和理解。

而无论是和谐、平衡,还是统一、协调,都是直觉的结论,因此,“数学美可以说是带有一定主观感情色彩的精致直觉。

”数学美主要表现在其直观性、简洁性、统一性和奇异性。

一般美的形象性、情感性、新颖性和功利性都融于数学之中。

1、直观性事实上，数学美不是抽象得难以捉摸的东西，其中的数学图形、符号、公式、结构关系等美学形体可以通过我们的感官直接感知。

同时，数学之美重在过程之美。

张奠宙教授认为“数学美，乃探究之美，对于每个学过数学的人来说，都是深有感触的，一道数学题目的解决，一个定理的发现，一个猜想的证明，是多么令人激动与陶醉啊！于枯燥之中见新奇，于迷茫之中得豁朗，这就是数学美的直观魅力所在。

”【2】比如，“七巧板”是我国一种传统的智力拼图游戏，被西方称为“东方魔板”。

它是由七块几何图形组成的，这七块可以拼成一个大正方形，用它以各种不同的巧妙方法可以拼成千变万化的形象图案，如较复杂的几何图形、建筑物、风景、人物，汉字等。

儿童玩七巧板的过程，既是益智活动过程，又是数学对象的审美过程和美的创造过程，且很容易在此游戏过程中获得数学美感。

【3】正是由于数学过程美的这种直观性，所以连小孩都愿意亲近乐学。

2、简洁性简洁而简单、对称、和谐是数学美的基本内容之一,透过简洁的表达形式纵观全体,看清复杂的内在关系,从而掌握这个体系,这无疑能够激起情感的美的享受,并建立学习、研究的信心。

首先,数学的结果是简单的。

如:点( x0 , y0 )到直线αx + by + c = 0的距离是d =│αx0+ by0 + c│α 2 + b2 形式是如此的简洁。

千古绝唱的勾股定理α 2 + b2= c2 ,这一简单而整齐的形式却表达了一切直角三角形边长之间的关系;而且它与面积公式的结合是一种和谐的完美的结合。

设Rt△ABC中，∠C=900,,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,三角形的半周长为p，即p=1／2（a+b+c）,△ABC的面积为s，则由勾股定理及直角三角形面积公式可得s=p（p-c）=（p-a）（p-b）该公式的结构和谐优美，简单易记，与海伦公式相比较体现了直角三角形的特殊性，在解直角三角形有关问题时，运用该公式，别具一格，富有情趣。

【4】其次，由对称而简单。

当人们认识、理解与研究对象时,其结构对称而可以简单地把握。

形体的对称性,在自然界中处处可见。

如树叶以其主叶脉为对称轴;花瓣的分布各向均匀;蜂巢、蛛网呈正多边形;人体也是左右对称的,反映到数学上就是中心对称、轴对称、镜面对称等,对称是数学的基本结构之一。

几何图形中对称性比比皆是,如圆、矩形、正多边形等; 解析几何中, 方程ρ= αsin3θ,ρ=αcos3θ,ρ=αsin2θ,ρ=αsin2θ所表示的曲线也是对称的,被人们分别冠以三叶玫瑰、四叶玫瑰的美称。

对称不仅表现在几何图形上,在数学表达式中也处处存在着。

如二项式展开的系数具有对称性;三角形中的恒等式、不等式也具有对称性。

对称性还表现为某种相应性。

例如,加与减、乘与除、正弦与余弦、指数与对数、有限与无限、微积与积分等等都是如此。

再如,在一定条件下,有一个关于极大值的命题,就相应地有一个关于极小值的命题。

“如果三角形的周长一定,则当这个三角形是正三角形时面积最大”与“如果三角形的面积一定,则当这个三角形是正三角形时周长最小”就是相应的命题。

数学解题中,对称性的体现常常关系到解题过程的繁简。

如,美国数学家波利亚讲述了一个由对称性引出的巧妙解题方法:问题:过八面体外的一条直线作一平面,把正八面体分为体积相等的两部分,应如何作这个平面?正八面体是中心对称体,考虑典型的中心对称体———球,设想过球外的任一直线作平面把球截为等体积的两部分,很显然所作平面就过球心,因为过对称中心体的任何平面都会把其截为等体积的两部分。

类比于此题,便得到解法。

数学家们常常把数学成果或方法的简洁美作为追求的目标,为之不遗余力地工作,这样也就推动了数学的发展。

例如,自欧氏几何《原本》问世后的两千年间,各国数学家都对他的第五公理的叙述方法繁琐、与其他公理相比总有些不自然而感到不满,在两千年内一直在寻找用更为简洁自明的命题来代替它。

而多次的失败,把人们引向了另一个方面,创造出了非欧几何。

可以说非欧几何的创立是从追求第五公设简洁自明开始的,实际上也可以认为是由对称的相应性所引导的(有交点,就应该有无交点的状况) 。

事实上,近现代的数学理论的公理化建构,也都遵循了简洁性原则。

3、统一性数学美的统一性,是指数学中部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。

数与形体是数学研究的两个独立的对象,对它们的研究,分别构成了代数与几何。

然而通过坐标系的建立,使点与数建立了对应,从而把代数研究的对象与几何研究的对象用方程与曲线联系在一起,实现了统一。

从数学发展的规律来看,数学的发展将日益证明数学的统一性。

为使庞大的数学体系变得简单而精确,数学家们经常依据数学各领域的共性,提出统一数学各部分的新观点、新理论。

算子理论、群论、拓扑理论等都是相应的许多具体数学内容统一的结果。

公理化方法、机构理想也是从统一性目标出发而提出的建立数学体系的方法。

由和谐协调而得统一。

对象的部分与部分或部分与整体都按一定的规律构成一个相互关联的统一体,这就是和谐。

和谐必然导致统一,这种和谐的统一在人们的心灵上会产生适应性及愉悦感。

比如，对于计算梯形数学公式s=1/2（a+b）h 来说，数学家和数学素养很好的人都认为它是美的。

因为他们从美学角度结合数学经验审视该公式，发现有简洁美和统一美的特征。

但对于一个初学者而言，未必能领会到它蕰涵的美。

只有学生们分别学习了三角形、正方形、矩形、梯形的面积公式后，并在比较、思考和应用的过程中才能发现三角形、正方形、矩形面积公式是上面公式的特例，才会体验到上面公式的美妙之处，即它于简单中包含了丰富的内涵，表面相异的数学对象又可以联系为一个统一体。

再如,为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割点是分割线段时最优美、最令人赏心悦目的点，同时这个比（即0.618）被视为人类美的密码【5】它表现出的协调美，是和谐统一美的典范，倍受人们关注，正五边形的任意一边和对角线的比为黄金分割比。

在正十边形、正十二面体和正二十面体中,都可以找到黄金分割比。

建于古希腊时期的巴台神农庙,是古希腊建筑的辉煌杰作,人们发现它也是按黄金分割比设计的。

4、奇异性奇异是相对于常识或平凡而言的,是对传统的突破。

表现为结论的奇异性是指结论的新颖奇巧、出乎意料,往往引起思想上的震动。

例如,毕达哥拉斯学派认为“十这个数目是一个完美的数目”。

这时所认识的数是正整数、有理数,认为有了这些数就足以表达一切量,除此以外就再无需别的数了。

从而认为“数”是“和谐的”,是万物的“始基”。

勾股定理导致无理数的发现,在当时无疑是一个奇异的结果,引起了人们极大的恐慌,后人称之为“第一次数学危机”。

在欧几里德几何占统治地位的时代,非欧几何的思想是奇异而“荒诞”的思想。

1826年俄国数学家罗巴切夫斯基终于第一个公开地提出了非欧几何的理论。

奇异所造成的并不总是消极的影响。

恰好相反,在它们中间常常孕育着新的巨大发展的可能性。

英国数学家哈密尔顿发现四元数。

在四元数问世之前,从自然数发展到复数,都必须服从加法和减法的运算率,但哈密尔顿突破了这一限制,大胆地设想出一种新数,这种新数由四个分量组成,并且不一定遵守传统的运算规则,这就是四元数:A =α+ bi + cj + dk,其中i2 = j2 = k2 = - 1,ij = - ji = - 1, jk = - k j = - 1, k i = - ik = - 1 。

四元数的发现对物理学的研究起到了推动作用,可以称得上是那个时代的一大创举。