数列通项公式专题讲座
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。

变式训练
1、（2004，全国I ，理22．本小题满分14分）
已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….
（I ）求a 3, a 5；
（II ）求{ a n }的通项公式.
类型2 n n a n f a )(1=+
解法：把原递推公式转化为
)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列{}n a 满足321=
a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。

变式训练
1.已知31=a ，n n a n n a 2
3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

2.在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

三 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，
)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
变式训练
1.已知数}{n a 的递推关系为43
21+=
+n n a a ，且11=a 求通项n a 。

2.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明：数列{b n }是等差数列；
类型4递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
变式训练
设数列{a n }的前项的和S n =3
1（a n -1） (n *∈N )． (Ⅰ)求a 1；a 2； (Ⅱ)求证数列{a n }为等比数列．
类型5 )()()(1n h a n g a n f a n n n +=+
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1 例：已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=
--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

变式训练
已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=
+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。