第九章 树
无向树与生成树 有向树与根树
§9.1 无向树及生成树
定义1 连通无回路的无向图称为无向树，简称树，记作T。 树叶(终点)：树中度数为1的结点。 内点(分枝点)：树中度数大于1的结点。 平凡图称为平凡树。 森林：每个连通分图均为树的图。
注：由于树无环且无平行边，所以树必是简单图。
例: 下图 中（a）、（b）均是树，图（c）是森林。
6 e10
7
G
1
e1
2
e2
e3
e6
3
5
e7 4 e8
6
7
T1
1
e1
2
e2
e4
3
e6
5
e7 4
e9
6
7
T2
定义6：G是一个连通图，T是G的一棵树，从树T中删 去一边，便将T分成两棵树，即两个连通分支，图G中 连接这两个连通分支的边的集合，称为对应于这条边 的基本（边）割集。
例：在下图 中的G和T1： 对应树枝e1，有基本割集{e1，e4}； 对应树枝e2，有基本割集{e2，e5}； 对应树枝e3，有基本割集{e3， e4 ，e5}
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
故选择1 2 3 5 6 8 9,共7条边
12
2
4
9 11 1 3 85
10
76219 Nhomakorabea3
85
6
练习：在下图中，用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树，计 算最小生成树的边权和，并画出生成树。
n
d (i ) 2(n k) k 2n k
i 1
而
nn
d (d(iv)i )22mm 22((nn1)k) 2n2n2 2
i 1i 1
所以2n-2 ≥ 2n-k，即k ≥2。
例:T是一棵树,有两个顶点度数为2，一个顶点度数为3， 三个顶点度数为4，T有几片树叶？ 解： 设树T有x片树叶，则T的顶点数: n=2+1+3+x T的边数: m=n-1=5+x
n
又由握手定理 2m d (i )
i 1
得
2 ·(5+x)=2·2+3·1+4·3+x 所以x=9，即树T有9片树叶。
有一些图，本身不是树，但它的某些子图却是树，其中 很重要的一类是生成树。 定义2 :若无向图G的一个生成子图T是树，则称T是G的 一棵生成树。 例如在下图中，T1和T2是图G的两棵生成树。
定理3：任何连通图至少有一棵生成树。 如何在连通图G中寻找一棵生成树： (1)若G没有回路，则G本身就是一棵树； (2)若G仅有一条回路，从此回路中删去一条边，仍保持图
的连通性，得到一棵生成树。 (3)若G有多条回路，则逐个对每条回路重复(2)中操作，
直到打断G中所有回路，得到一棵生成树为止。
定义3：设T是G的一棵生成树，则称T中的边为树枝。 定义4：设T是G的一棵生成树，G不在T中的边称为T的弦。 定义5：设T是G的一棵生成树，T的所有弦的集合称作生成 树T的补。 一个连通的（n，m）图，其任意一棵生成树的树枝数一定 是n-1，从而弦数保持固定不变，数值为：m-n+1。
1
e1
2
e2
e3 e4
3
e5 e7
4 e6
5
e8
e9
6
e10
7
G
1
e1
2
e2
e3
e6
3
5
e7 4 e8
6
7
T1
1
e1
2
e2
e4
3
e6
5
e7 4
e9
6
7
T2
例：试画出图所示无向图的两棵非同构的生成树。
其度数序列为： （1）1,1,2,2,2 （2）1,1,1,2,3
例：分别画出下图所有不同构的生成树。 解 ：所有不同构的生成树有3棵，如下图所示。
中选取e i+1 ，使得 {e1，e2，…，ei ，e i+1} 中无回路，且 ω（e i+1）=min。 （3）继续进行，直到选得e n-1为止。
求最小生成树的Kruskal算法(避圈法)
例：对左边无向图用Kruskal算法求得 右边的最小生成树.
解:此图共8个结点,其最小生成树中应 有8个结点,7条边.将边权从小到大排 序:
1
e1
2
e2
e3 e4
3
e5 e7
4 e6
5
e8
e9
6
e10
7
G
1
e1
2
e2
e3
e6
3
5
e7 4 e8
6
7
T1
1
e1
e2
e4
3
e6
e7 4
6
T2
最小生成树
实际的问题：假设你是一个设计师，欲架设连接n 个村镇的电话线，每个村镇设一个交换站。已知由i 村到j村的线路e=（vi，vj）造价为ω（e）=wij ， 要保证任意两个村镇之间均可通话，请设计一个方 案，使总造价最低。
定理1 ：无向图T是树，以下关于树的定义是等价的。 （1）无回路的连通图 （2）无回路且m=n-1，其中m为边数，n 为顶点数。 （3）T是连通图且m=n-1。 （4）T中无回路，但增加一条边，则得到一条且仅一 条回路。 （5）T连通且每条边均是桥。 （6）每对顶点间有唯一的一条路。
例：试画出度数列为1,1,1,1,2,2,4的所有非同构的7阶无向树。
1
e1
2
e2
e3 e4
3
e5
e6
5
e7
4
e8
e9
6
e10
7
G
1
e1
2
e2
e3
e6
3
5
e7 4 e8
6
7
T1
1
e1
e2
e4
3
e6
e7 4
6
T2
这些边割集所具有的共同特点是：每个割集中均只含生 成树的一个树枝，其余的均是弦。 定理5：一个边割集和任何生成树至少有一条公共边。
例：在下图 中的G和T1：对应树枝e1，有基本割集{e1，e4}
练习： 设G是有n个结点m条边的连通图，必须删去G的多少 条边，才能获得G的一棵生成树？
定理4：一条回路和任何一棵生成树的补至少有一条公共边。
对于图G的一棵生成树T，每增加一条弦，便得到一条回路 例:在下图所示的T1中： 加弦e5，得回路e2e3e5
1
e1
2
e2
e3 e4
3
e5
e6
5
e7
4
e8
e9
解：由度数列1,1,1,1,2,2,4不难看出，唯一的4度顶 点必须与2度顶点相邻，它与1个2度顶点相邻，还是与 两个2度顶点都相邻，所得树是非同构的，再没有其他 情况。因而是两棵非同构的树。
定理2 ：任何一棵非平凡树T至少有两片树叶。
证明 设T是（n，m）图，n ≥ 2，有k片树叶，其余顶 点度数均大于或等于2。则
这个问题的数学模型为：在已知的赋权图上求权和 最小的生成树。
定义7： 设无向赋权连通图G=〈V,E,ω〉，G的所有生 成树中，树权和最小的生成树称为G的最小生成树。
求最小生成树的一个算法是克鲁斯卡尔（Kruskal）算法: （1）选e1∈E(G)，使得ω(e1)= min （2）若e1，e2，…,ei已选好，则从E (G)-{e1，e2，…，ei}