Z反变换：
1 m 0 1 m -1 z dz 2j c 0 其它
C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。
1 n -1 f [ n] F ( z ) z dz 2j c
Re s{F ( z) z
i
n -1
}z zi zi为F(z)zn-1在C中的极点
二、收敛域（ROC)
主要内容
• z变换的定义 • 基本信号的z变换 • z反变换 • 使用z变换分析系统
Ch7.2 Z变换 (the Z - Transform)
• 定义 • 收敛域 • S平面
一、定义
双边Z变换
F ( z)
n -


f [ n] z - n
收敛域(ROC):
k -


f [ n] z - n
1.线性(linearity)
af1[n] bf2 [n] aF 1 ( z ) bF 2 ( z) ROC包含 R f 1 R f 2
例：RN [n] u[n] - u[n - N ]
1 z -N 1 - z -N F ( z) -1 -1 1- z 1- z 1 - z -1
k
ROC 包含Rf1∩Rf2
证：Z[ f1[n] f 2 [n]] Z[ f1[k ] f 2 [n - k ]]
f1[k ]Z [ f 2 [n - k ]] F2 ( z ) f1[k ]z - k F1 ( z) F2 ( z)
k k
例：Z [ f [k ]] Z [ f [n] u[n]]
ch7 用离散时间复指数信号表示信号：Z变换 (the Laplace Transform)
Ch7.1 引言（Introduction）
1、从离散时间傅里叶变换到Z变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在。引入Z变换，从而也可以对这些信号进 行分析。 Z变换实质是将信号f(n)乘以衰减因子r-n 的傅 里叶分析。
1 1 F ( z) -1 -1 1 - az 1 - bz
azb
必须在|b||a|的条件下，序列的Z变换才存在。
例：f [n] a
n
f [n] a u[n] - (-a )u[-n -1]
n n
b -a a
序列的Z变换不存在。
三、基本序列的Z变换
1) Z [ [n]] 1, z 0
1)有限长序列
F ( z)
n N1

N2
f [n]z
-n
ROC
0 z
1 0 n N - 1 例：f [n] RN [n] 0 其它
F ( z) z
n 0 N -1 -n
1 - z -N -1 1- z
z 0
2)右边序列
F ( z)
n

例：f [n] a u[n]
n 0
k N1
n -n


f [ n] z - n
1 1 - az -1
ROC
z R-
F ( z) a z
3)左边序列
z a z R

F ( z)
n
-1
n -

N2
f [ n] z

-n
ROC
例：f [n] -b u[-n -1]
F ( z)
n -

-b z
n
-n
- b z
-n n 1
n
1- b z
-n n 0
n
1 1 1 -1 -1 1 - b z 1 - bz
zb
4)双边序列
F ( z)
n
n -


f [ n] z - n
n
ROC R- z R
例：f [n] a u[n] - b u[-n -1]
z 0
3．时移（Time Shift） 双边Z变换的位移 单边Z变换的位移 f ( n)
f [n-k] z-kF(z)
f (n 1)
ROC = Rf
f ( n - 2)
0
n
0

n
0

n
Z[ f [n 1]u[n]] z( F ( z) - f [0])
Z [ f [n 1]u[n]] f [n 1]z -n f [n]z -( n-1)
k 0
n
F ( z) -1 1- z
z f [ n] z - n
n 1
n 0
n 1
z( F ( z ) - f [0])
Z [ f [n 2]u[n]] Z[ f [(n 1) 1]u[n]]
z (Z[ f [n 1]] - f [1]) z 2 ( F ( z) - f [0] - z -1 f [1])
-1
1 F ( z) z -1 1 - az
-1
f [n] a
( nvolution) 序列卷积的定义：
f1[n] f 2 [n] f1[k ] f 2 [n - k ]
k
f1[n] f 2 [n] F1 ( z) F2 ( z)
Z[ f [n -1]u[n]] z F ( z) f [-1] Z[ f [n - 2]u[n]] z -1Z[ f [n -1]u[n]] f [-2] z F ( z) z f [-1] f [-2]
例：F(z)=1/(z-a) |z| a 求f [n]。
-2 -1
2) Z [ u[n]]
n
1 1- z
-1
za
3) e
j0 n
u[n]
1 1- e
j0
z
-1
1 - cos0 z -1 j sin 0 z -1 -1 -2 1 - 2 z cos0 z
1 - cos0 z -1 cos(0 n)u[n] 1 - 2 z -1 cos0 z -2 sin 0 z -1 sin(0 n)u[n] 1 - 2 z -1 cos0 z -2
Ch7.4 Z变换的主要性质
f1[n] F1 ( z ) f 2[n] F2 ( z)
重点看以下几个：
(properties of Z Transform)
ROC R f1 {z; R f 1- z R f 1 } ROC R f2 {z; R f 2- z R f 2 }