证明： 若z0是f (z)的m阶零点 即 f (z) (z z0 )m(z)
((z)在 z0 处解析, 泰勒级数：(z) a0 a1(z z0 ) )
f (z)在z0处的泰勒级数为
f (z) a0 (z z0 )m a1 (z z0 )m1 a2 (z z0 )m2
f (z0 ) f (z0 ) f (m1)(z0 ) 0, f (m)(z0 ) a0 0.
则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
例如：f (z) sin 1 以z 1为它的本性奇点
因为sin
1
1 z
在z 1的去心邻域0 z 1 上的罗朗展式为
1
1
z
sin
(1)n ( 1 )2n1
1 z n0 (2n 1)! 1 z
1 ( 1 ) 1 ( 1 )3 (1)n ( 1 )2n1
z 1是f (z)的本性奇点.
或 z沿实轴从点1的右侧趋向于1
z沿实轴从点1 的左侧趋向于1
1
lim e z1极限不存在，且不为 z 1
z 1是f (z)的本性奇点课. 件
1
lim e z1
z1
1
lim e z1 0,
z1
9
综上所述:
定理5.1 若函数f (z)在0 z z0 R内解析，则
z 1是(z2 1)( z 2)3的一级零点
z 2是(z2 1（) z 2）3的三级零点，
z 1是f (z)的二级极点，(见例7,m 1 3 n)
z 2是可去奇点， (见例7,m 3 n)
z 0,2,3， 4， 是f (z)的三级极点.
(见例7, m 0 3 n)
k
课件
3
5.1.1 孤立奇点的定义及分类
定义： 若 f (z）在 z0不解析，但在0 z z0 内解析，
则称z0为f (z)的一个孤立奇点.
若z0为f (z)孤立奇点,
则f (z)在z0的去心邻域（圆环域）
0 z z0 上解析.
f (z)在0 z z0 上的罗朗展开式
cn (z z0 )n 存在
z
1
z n 1 z z2 课件 zn
z 1
1 z n0
2
5.1 解析函数的孤立奇点
引例：求下列函数的奇点（不解析点） z2 3
(1) f (z) (z 1)( z 3)
z1 1, z2 3
(2)
f
(z)
1
sin
z
z 0为奇点，
-3
1
z 1 k 1,2, 也是奇点，
z 0为可去奇点. 课(件见例7, m 3 n)
19
3)
f (z）
(z2 1)( z 2)3
(sin z)3
解: sinz 0 z n zk 0,1,2, 奇点
又(sinz) 0 z zk
z zk 是(sin z)3的三级零点，
z 1是z2 1的一级零点 z 2是（z 2）3的三级零点，
z3
(1)n
n0
z2n1 z
(2n 1)! z3
1 3!
z2 5!
z4 7!
z 0为可去奇点.
或
(sinz z) 0,(sinz z)' 0,
z0
z0
(sinz z)'' 0,(sinz z)(3) 0
z0
z0
z 0是(sin z z)的三级零点。
z 0是z3的三级零点。
例5：考察函数 f (z) z sin z 在原点的性质 解： f (z)在z 0解析 f (0) 0
f '(z) 1 cosz f '(0) 0
f "(z) sin z f "(0) 0 f "'(z) cosz f "'(0) 1 0
所以，z 0是f (z)的三阶零点。
若f (z)在 0 z z0 R 上解析，则f (z) cn (z z0 )n
ez
zn
z2
zn
1 z
n0 n!
2!
n!
n
z
sin z (1)n
z 2n1
z3 z5 z
n0
(2n 1)!
3! 5!
z
cos z
(1)n
z2n
1 z2 z4
n0
(2n)!
2! 4!
sin z 1 (z 1 z3 1 z5 ) z z 3! 5!
1 1 z2 1 z4 3! 5!
z 0为f (z)的可去奇点。
课件
5
(2)极点：罗朗级数中含有限多个(z z0 )负幂项； 如果在罗朗级数中只有有限多个zz0的负幂项,且其中
关于(zz0)1的最高幂为 (zz0)m, 即
f (z)=cm(zz0)m+...+c2(zz0)2+c1(zz0)1+c0+c1(zz0)+...
(m1, cm0),则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m阶极点.
上式也可写成 其中 g (z) =
f (z)
cm+
(z
1 z0 )m
g(
cm+1(zz0) +
z) ，（）
cm+2(zz0)2
+...
z0
n-
我们根据罗朗展式中负幂项的多少，对孤立奇点进行分类：
(1)可去奇点：若罗朗展式中不含有(z z0 )负幂项,
我们 称z0为课f件( z )的可 去奇点.
4
这时, f (z)= c0 + c1(zz0) +...+ cn(zz0)n +.... 0<|zz0|< ,
显然，lim f (z) 则在圆z域z0|zz0|<
课件
20
5.1.3 孤立奇点 的定义及分类 定义： 距离原点无限远的点，统称为无穷远点 ，记作
由于函数在无穷远点没有定义，所以无穷远点总是一个 奇点。我们关心的是，在怎样的情况下，构成孤立奇点？
反之
泰勒级数的系数cn
f (n（） z0 ) , n!
c0 c1 cm1 0, cm 0,
f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1
(z z0 )m[cm cm1(z z0 ) ] (z z0 )m g(z)
g(z)为对应的和函数，g(z)课在件 z0解析，g(z0 ) cm 0 13
c0.补充定义f (z0 ) c0
内就有 f (z)=c0+c1(zz0)+...+cn(zz0)n
+...,
从而函数 f (z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.
例1：f (z) sin z z 0是f (z)的奇点，孤立奇点。 z
f (z)在z 0去心邻域 0 z 内的罗朗级数为
z0为f
(z)的可去奇点
lim
z z0
f
(z)存在且有限
z0为f
(z)的极点
lim
z z0
f
(z)
z0为f (z)的本性奇点
lim
z z0
f
(z)不存在且不为
我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的
类型.
课件
10
例4 判定下列函数的孤立奇点的类型。
ez 1 (1)
z
z 0为孤立奇点
lim ez 1 lim (ez 1)' lim ez 1 z 1为可去奇点。
(4) 例7的结论
若z a 分别是(z)与 (z）的m阶与n阶零点,则
当m n时，z a为(z) 的(m n)阶零点， (z)
当m n时，z a为(z) 的(n m)阶极点，
当m
n时，z
(z) 课a件为
(
z)
的可去奇点.
17
(z)
例8 下列函数有什么奇点？如果是极点，指出其阶数。
ez 1 1) f (z) z2
解 奇点为z 0.
f (z)在z 0的去心邻域0 z 1内的洛朗级数
f (z)
ez 1 z2
1 z2
(
n0
zn n!
1)
1
1 zn,
z n0 (n 2)!
z 0是f (z)的一级极点. （定义）
或 (ez 1） 0,(ez 1) 0
c os z
解： f (z)的奇点是满足cos z 0的点,这些点是
zk k
因为(cosz)'
2
(k
0,1, sin z
)
0
z zk
z zk
所以，zk 是 cos z 的一阶零点
zk
是
1 c os z
的一阶极点。课件
15
例7 设(z)与 (z）分别以z a为m阶与n阶零点
问1）(z) (z) 、 2 )(z) (z) 在 z a 有何性质？ 解 可设 (z） (z a)m1(z) (z） (z a)n 1(z)
z0
z0
z2 (z2 ) 0,(z2 ) 0,
z0
z0
z0
z 0是ez 1的一级零点，
z 0是z2的二级零点，
z 0是f (z)的一级极点. (见例7, m 1 2 n)
课件
18
sin z z 2) z3
解：奇点为 z 0
函数在z 0的去心邻域内对应的罗朗级数为：
sin z z
Pn (z) (z z0 )m Qnm (z)
Qnm (z)是一个(n-m)次多项式，在z0解析，且Qnm (z0 ) 0,
所以，z0是Pn (z)的m阶零点。
问题： z 0 f (z) z sin课z件 零点的阶数？