第五章 留 数
一、选择题： 1．函数
3
2cot -πz z
在2=-i z 内的奇点个数为 ( )
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )
（A ）可去奇点 （B ）本性奇点
（C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 3．设0=z 为函数
z
z e
x sin 14
2
-的m 级极点，那么=m ( ) （A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数1
1
sin
)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点
5．∞=z 是函数2
3
23z z z ++的( )
(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点 6．设∑∞
==
)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)
([
Re k z
z f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k 7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)
()
([
Re a z f z f s ( ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）
（A ） 2
1)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1
sin )(-=
（C ）z z z z f cos sin )(+=
(D) z
e z
f z
1
11)(--= 9．下列命题中，正确的是( )
（A ） 设)()
()(0z z z z f m
ϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为
)(z f 的m 级极点．
（B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ） 若
0)(=⎰c
dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点
10． =∞],2cos
[Re 3
z
i
z s ( ) （A ）3
2-
（B ）32 （C ）i 32
（D ）i 32-
11．=-],[Re 1
2
i e z s i
z ( )
（A ）i +-
61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +6
5 12．下列命题中，不正确的是( )
（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s （B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)
()(],)()
([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若
0z 为
)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则
)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dz
d n z z f s n n n
x x +→-=
（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(z
f 的一级极点，并且
)1
(lim ]),([Re 0z
zf z f s z →=∞
13．设1>n 为正整数，则
=-⎰=21
1
z n
dz z ( ) (A)0 （B ）i π2 （C ）
n
i
π2 （D ）i n π2 14．积分
=-⎰
=
2
310
9
1
z dz z z ( ) （A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）
5
i π 15．积分
=⎰=1
2
1sin z dz z z ( ) （A ）0 （B ）6
1
- （C ）3i π- （D ）i π-
二、填空题
1．设0=z 为函数3
3sin z z -的m 级零点，那么=m ．
2．函数z
z f 1cos
1)(=
在其孤立奇点),2,1,0(2
1 ±±=+
=
k k z k ππ处的留数
=]),([Re k z z f s ．
3．设函数}1
exp{)(2
2
z z z f +
=，则=]0),([Re z f s 4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)
()
([
Re a z f z f s ． 5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设2
12)(z z
z f +=
，则=∞]),([Re z f s ． 7．设5
cos 1)(z
z
z f -=
，则=]0),([Re z f s ． 8．积分
=⎰=1
13
z z
dz e z
．
9．积分
=⎰=1
sin 1
z dz z ． 10．积分=+⎰∞
+∞-dx x xe ix
2
1 ． 三、计算积分
⎰=
--4
12)1(sin z z dz z e z
z ．
四、利用留数计算积分
)0(sin 0
22>+⎰a a d π
θ
θ
五、利用留数计算积分
⎰
∞
+∞
-+++-dx x x x x 9
102
242
六、利用留数计算下列积分： １．
⎰
∞
++0
212cos sin dx x x
x x ２．⎰∞+∞-+-dx x x 1
)1cos(2 七、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是
b z f a z m a
z =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数．
八、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=．
九、设)(z f 以a 为简单极点，且在a 处的留数为A ，证明A
z f z f a
z 1
)
(1)(lim
2
=
+'→. 十、若函数)(z Φ在1≤z 上解析，当z 为实数时，)(z Φ取实数而且0)0(=Φ，),(y x f 表
示)(iy x +Φ的虚部，试证明
)()sin ,(cos cos 21sin 20
2
t d f t
t t Φ=+-⎰
πθθθθθ
π
)11(<<-t
答案
第五章 留 数
一、1．（D ） 2．（B ） 3．（C ） 4．（D ） ５．（B ） ６．（C ） ７．（A ） ８．（D ） ９．（C ） 10．（A ） 11．（B ） 12．（D ） 13．（A ） 14．（B ） 15．（C ）
二、1．9 2．2
)
2
()1(π+π-k k 3．0 4．m - 5．1
6．2- 7．241-
8．12
i π 9．i π2 10．e i π 三、i π-
3
16
. 四、
1
2
+πa a .
五、
π12
5. 六、１．)(443e e e -π ２．e
1
cos π。