高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系
21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x
=-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。

（2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。

21．解：（1）1()ln h x a x x x
=-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x
++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++∆=-
当0∆≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。

………………4分
当0∆>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分
若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分
若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x >
此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增
当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分
（2）方法1：问题等价于1ln a x x =
有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a
=有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ϕ=，则()1ln x x ϕ'=+
由0ln 1'=+=x ϕ，得e
x 1=
当e x 10<<时，0)('<x ϕ，)(x ϕ单调递减， 当e x 1>时，)(,0)('x x ϕϕ>单调递增，。