第16讲-导数与函数的零点
一、 经典例题
考点一 判断零点的个数
【例1】已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x
的零点个数． 解 (1)∵
f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.
∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.
故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.
(2)由(1)知g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2，
∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2
，令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3. 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表：
X
(0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x )
＋ 0 － 0 ＋ g (x ) 极大值 极小值
当0<x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4<0，
当x >3时，g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.
又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，
因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点，
故g (x )仅有1个零点．
规律方法 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g (x )(要求g ′(x )易求，g ′(x )＝0可解)，转化确定g (x )的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g (x )的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．。