（2）主矩大小和方向
M M M
ox oy oz
v M v M
v M
v o(Fv) o(F )
v o(F )
x y z
v M x(F
v
M
(
y
F
v
M
(
z
F
) ) )
Mo
v
M
(
x
F
) 2
v
M
(
y
F
2
)
v M z(F
) 2
cos
v M
o,
iv
M ox M
cos
v M
o,
vj
M oy M
cos
ij k
y
18
2i 12 j 3
3
0
4 3 2 3 2
9 2i (12 9 2) j (12 9 2)k
16
主主 §矩矢5-1、M空OFR间任148i意2力3i系21的2j j简3化2MkC 9
2i (129
2) j (129
2)k
z
z
B(0,0,2a)
B(0,0,2a)
i 1
作用线过简化中心O
2.特点 主矢的大小和方向与简化中心无关
3.解析计算
(1)主矢投影
n
FR'x Fxi i 1
(2)主矢大小和方向余弦
n
FR'y Fyi i 1
n
FR'z Fzi i 1
FR'
F '2 Rx
F '2 Ry
F '2 Rz
Fxi 2 Fyi 2 Fzi 2
v M
o,
v k
M oz 5M
§5-1、空间任意力系的简化
r FrRx —有效推进力
飞机向前飞行
FrRy —有效升力
飞机上升
FrRz —侧向力
飞机侧移
Mr Ox —滚转力矩
飞机绕x轴滚转
M r
Oy
—偏航力矩
飞机转弯
MOz —俯仰力矩
飞机仰头
6
5-2空间任意力系的平衡条件
7
§5-2、空间任意力系的平衡条件
M Ox yFRz zFRy
由 M Oy zFRx xFRz
M Oz xFRy yFRx
代入
0 2yF 2zF
2Fa z • 0 2xF
2Fa 2xF y • 0
v MO
v FR
D
F3
F5
aO
F2
y
A F1
B F6
x
舍去不独立的方程，
xa
即可得合力作用线方程 y z
过A、D两点的连线
第5章 空间任意力系
1
5-1空间任意力系的简化
2
§5-1、空间任意力系的简化
1． 空间任意力系向一点的简化
其中，各
rr Fi Fi
，各
r rr Mi Mo(Fi )
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
3
§5-1、空间任意力系的简化
主矢 1.定义
FvR'
n
Fvi'
n
v Fi
i 1
主矩方向v v cos(MO , i ) 0
vv
2
cos(MO , j ) 2
vv 2 cos(MO , k ) 2
12
§5-1、空间任意力系的简化
rv
FR • MO = 0 •0+2F •-2Fa 2F •2Fa 0
表明此力系简化的最后结果为一合力。
如何确定合力作用线方程？
C
z F4
M z F 0
F FBx FAx Fx 0 FBy Fy 0
F FBz FAz Fz 0
488 76FBz 76F 388Fz 0
F R Fz r 0
76F 488 76FBx 30Fy 388Fx 205
又： Fr 0.36F , 结果： F 10.2kN,
平衡条件—— F 0 力多边形自行封闭 i
空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的
代数和分别等于零。
空间汇交力系的平衡方程:
Mx 0 My 0 Mz 0
Fx 0
Fy 0
Fz 0
9
§5-2、空间任意力系的平衡条件 2、空间平行力系 空间平行力系的平衡方程
M z F 0 100Fx 30Fy M z 0
结果：FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN M x 1.7kNm, M y 0.51kNm, M z 0.22kNm
27
13
§5-1、空间任意力系的简化 例5-1-2
z B(0,0,2a)
如图，力系中 F1, F2 分
A(0,0,a) 45º
F1
F2
O
C(a,a,0)
x
别作用于点A(0,0,a)和点
B(0,0,2a)，已知：a=3m, y F1=4kN,F2=6kN,求力系
的主矢及力系对点O、点
C(a,a,0)的主矩，并判断力 系简化的最后结果。
14
§5-1、空间任意力系的简化
z B(0,0,2a)
解：F1 4i
A(0,0,a) 45º F1 O
F2
F2 6(
又
r1
3k
2
j
2
2
2
r2 6k
k ) 3 2 j 3 2k
CO 3i 3 j
y 主矢
C(a,a,0)
x
对点O的主矩
FR Fi 4i 3 2 j 3 2k
19
例5-2-1
已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图
求：A、B、C 处约束力
解：研究对象：小车
rr r r r 受力：P, P1, FA, FB , FD ,
列平衡方程
Fz 0 P P1 FA FB FD 0
MxF 0 0.2P 1.2P1 2FD 0
M yF 0 0.8P1 0.6P 1.2FB 0.6FD 0
F6
a
a 2
P
F1
ab 0 a2 b2
r
M FG F 0
Fb
b 2
P
F2b
0
r
M BC F 0
F2
b
b 2
P
F3
cos
45
b
0
F1 0
F2 1.5P
F3
2
2P
21
例5-2-3
已知： F 2000N, F2 2F1, 30, 60, 各尺寸如图
解求：：研F究1, F对2 及象A，、曲B处轴约受束力力：Fr
空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零.
空间任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三 个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些 力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.
8
§5-2、空间任意力系的平衡条件 1、空间汇交力系 空间汇交力系平衡的几何条件
Fx 0 Fy 0
M
n
2
M
ix
n
2
M iy
n
2
M iz
0
i1
i1
i1
Fz 0
空间力偶系平衡的解析条件——平衡方程
Mx =0 My =0 Mz =0
即力偶系各力偶矩矢分别在三个坐标轴投影的代数和等于零。
11
§5-1、空间任意力系的简化
6
v
MOx M x Fi =F2a F4a 0
F1
B(0,0,2a)
r M
45º
A(0,0,a)
F2
OMO
r v 36 2 0 FR • MO 0 左力螺旋
vr
M lFR
O
如何确定力螺旋作用线方程？
r
M
O
rv M O • lFR
v lFR
r
M
O
•
v FvR FR
v FvR FR
rv MO • FR
v2 FR
FR
v FR
FAx 15.64kN,
FBx 1.19kN,
F 3.67kN, FAz 31.87kN, FBy 6.8kN, FBz 11.2kN,
研究对象2：工件受力图如图
列平衡方程
Fx 0 FOx Fx 0
Fy 0 FOy Fy 0
Fz 0 FOz Fz 0 26
M x F 0 100FZ M x 0 M y F 0 30FZ M y 0
v cos(FR'
,
v i)
FR' x FR'
v cos(FR' ,
v j)
FR' y FR'
vv cos(FR' , k )
FR' z FR'
4
§5-1、空间任意力系的简化
主矩
v
v
vv
1.定义
Mo M
M
o(F
)
i
2.特点 在一般情况下，主矩随简化中心位置不同而改变
3.解析计算 （1）主矩投影
由力对点的矩与力对 轴的矩的关系，有
已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N,
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm
各尺寸如图
求：
(1)
r Fr
,
r F
（2）A、B处约束力
（3）O