第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e为常向量，（因为)(t e的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r= ' （e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r×'r =2 （e ×'e）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。
当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n= 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n为常向量，且)(t r ·n = 0 。
两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r）=0 。
反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r 0 。
若r ×'r =0，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'r，则存在数量函数)(t 、)(t ，使''r = r r+ 'r ①令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。
对n =r ×'r求微商并将①式代入得'n =r ×''r = （r r ×'r）= n ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。
§3 曲线的概念1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z=t 在（1,0,0）的切线和法平面。
解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0 t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 111z y x ，法平面为 y + z = 0 。
2．求三次曲线},,{32ct bt at r在点0t 的切线和法平面。
解 }3,2,{)('2000ct bt a t r ，切线为230020032ct ct z bt bt y a at x ， 法平面为 0)(3)(2)(30202000 ct z ct bt y bt at x a 。
3. 证明圆柱螺线r r={ a cos ,a sin , b } ( )的切线和z 轴作固定角。
证明 'r= {-a sin ,a cos ,b },设切线与z 轴夹角为 ,则 cos=22||||'ba be r k r 为常数，故 为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。
4. 求悬链线r r ={t ，a t a cosh }（- t ）从t =0起计算的弧长。
解'r = {1，atsinh }，|'r | =at 2sinh 1 = a tcosh ， ｓ＝a ttata dt sinh cosh。
９．求曲线2232,3a xz y a x 在平面3ay 与y = 9a 之间的弧长。
解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{223xa a x x ，曲面与两平面3a y 与y = 9a 的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222xa ax ，｜'r ｜＝444441x a a x ＝22222xa a x ，所求弧长为a dx xa a x s aa9)2(22322。
10. 将圆柱螺线r r={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。
解 'r= { -a t sin ,a t cos ,b}，s = t b a dt r t 220|'| ，所以22ba s t，代入原方程得 r r={a cos22ba s , a sin22ba s ,22ba bs }11.求用极坐标方程)( 给出的曲线的弧长表达式。
解 由 cos )( x ， sin )( y 知'r={)('cos -sin )(，)(' sin + cos )(}，|'r| = )(')(22 ，从0 到 的曲线的弧长是s=)(')(22 d 。
§4 空间曲线1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 在任意点的密切平面的方程。
解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为sin cos cos sin sin cos ta ta b t a t a bt z t a y t a x = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .2. 求曲线r r= { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , 'r(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0} t ={0,1,1}，)0(''r{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0} t ={2,0,2} ，所以切线方程是110zy x ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是202110zy x=0 ，即x+y-z=0 ，主法线的方程是 00z y z y x 即112zy x； 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111 zy x 。
3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 的主法线和z 轴垂直相交。
证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r ⊥''r 知''r为主法线的方向向量，而''r 0 k所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是与z 轴有公共点(o,o,bt)。
故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。
4.在曲线x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解 'r = {-cos sint, cos cost, sin } , ''r={ -cos cost,- cos sint ,0 }|'''|'''r r r r{sin sint ,- sin cost , cos }新曲线的方程为r r={ cos cost + sin sint ，cos sint- sin cost ，tsin + cos }对于新曲线'r={-cos sint+ sin cost ，cos cost+ sin sint ，sin }={sin( -t), cos( -t), sin } , ''r={ -cos( -t), sin( -t),0} ,其密切平面的方程是即 sin sin(t- ) x –sin cos(t- ) y + z – tsin – cos = 0 .5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
证 方法一：设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(t r具有固定长，所以r r ·'r= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。
若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r r ·'r= 0，)(t r 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：()r r t r r是球面曲线 存在定点0r r （是球面中心的径矢）和常数R （是球面的半径）使220()r r R r r 02()0r r r r r r ，即0()0r r r r r r（﹡）而过曲线()r r t r r上任一点的法平面方程为()0r r r r r 。
可知法平面过球面中心（﹡）成立。
所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
6.证明过原点平行于圆柱螺线r r={a t cos ，a t sin ，b t }的副法线的直线轨迹是锥面2222)(bz y x a .证 'r={ -a tsin ,a t cos , }, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，'r×''r=},cos ,sin {a t b t b a 为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是az t b y t b x cos sin ，消去参数t 得2222)(bz y x a 。