两角和与差的三角函数班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．－12解析：将已知两式化为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ.两式平方相加，有cos(α－β)＝－12.答案：D2．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：由已知得 5 sin(α＋φ)＝－ 5 ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝12，即有 sin(α＋φ)＝－1，所以α＋φ＝2k π－π2，α＝2k π－π2－φ，所以tan α＝tan(－π2－φ)＝cot φ＝2.答案：B 3.3－ sin70°2－cos 210°＝( )A.12B.22 C ．2D.32解析：3－ sin70°2－cos 210°＝3－ sin70°2－1＋cos20°2＝2(3－cos20°)3－cos20°＝2. 答案：C4．(2011·南通)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是( )A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428解析：∵sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，两式相加得：sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ，∴sin2x＝sin2y .又∵x 、y 均为锐角，∴2x ＝π－2y ，∴x ＋y ＝π2，∴由cos x －cos y ＝23，得sin y －cos y＝23，∴2sin ⎝⎛⎭⎫y －π4＝23， ∴sin ⎝⎛⎭⎫y －π4＝23， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2y －π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫y －π4＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫y －π4 ＝1－2×29＝59，∴sin2y ＝59.又∵sin y －cos y ＝23＞0，且y 为锐角，故π4＜y ＜π2，∴π2＜2y ＜π， ∴cos2y ＝－1－sin 22y ＝－1－2581＝－569＝－2149.∴tan(x －y )＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－2y ＝cot2y ＝cos2y sin2y ＝－2149×95＝－2145.答案：B5．(2011·西城)已知sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，那么sin2αcos 2α的值等于( ) A ．－34B ．－32C.34D.32解析：sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α.∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45，tan α＝－34，2tan α＝－32，选择B.答案：B6．(2011·合肥)已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )A.25B.75C.145D ．－25解析：角α是第一象限角且cos α＝35，∴sin α＝45，∴1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2cos α＋2sin α＝145，故正确答案是C.答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．cos π5cos 25π的值是__________．解析：原式＝12sinπ5·2sin π5cos π5cos 2π5＝14sin π5·2sin 2π5cos 25π＝14sinπ5sin 45π＝14. 答案：148．已知sin α2＝513，α∈(π，2π)，则tan α＝__________.解析：解法一：由已知cos α2＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213， ∴sin α＝2sin α2cos α2＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169， cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169， ∴tan α＝sin αcos α＝－120169×169119＝－120119.解法二：由已知cos α2＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213， ∴tan α2＝sinα2cos α2＝－512，∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝2×⎝⎛⎭⎫－5121－⎝⎛⎭⎫－5122＝－120119.答案：－1201199．cot20°cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝__________. 解析：原式＝cot20°cos10°＋3sin10°cot20°－2cos40° ＝cot20°(cos10°＋3sin10°)－2cos40° ＝2cot20°⎝⎛⎭⎫12cos10°＋32sin10°－2cos40°＝2cot20°sin40°－2cos40°＝2⎝⎛⎭⎫cos20°sin40°sin20°－cos40°＝2cos20°sin40°－cos40°sin20°sin20°＝2sin (40°－20°)sin20°＝2.答案：210．若1＋tan α1－tan α＝2011，则1cos2α＋tan2α＝________.解析：1cos2α＋tan2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2011.答案：2011三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α的值．解析：(1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． ∵|a －b |＝255，∴(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝255，即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π，∵cos(α－β)＝35.∴sin(α－β)＝45，∵sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴sin α＝sin ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎫－513＝3365. 12．已知tan α＝－13，cos β＝ 55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝ 2 sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解析：(1)由cos β＝55，β∈(0，π)， 得 sin β＝2 55，tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1.(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以 sin α＝1 10，cos α＝－310，f (x )＝2( sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β ＝－3 5 5 sin x － 5 5cos x ＋ 5 5cos x －2 55 sin x＝－ 5 sin x ， 又－1≤ sin x ≤1， 所以f (x )的最大值为 5.13．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求 sin x 的值； (2)求 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解析：(1)解法一：因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是 sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝ sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4 ＝ sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 解法二：由题设得22cos x ＋22 sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又 sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25 sin 2x －5 sin x －12＝0， 解得 sin x ＝45或 sin x ＝－35.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以 sin x ＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故cos x ＝－ 1－ sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2 sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以， sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝ sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.。