④ 性能指标
反映和评价系统性能优劣的指标。
tf t0
J [[ x (t f ), t f ] f [ x (t ), u (t ), t ]dt
性能指标值的大小依赖于控制作用的整体u(· )的选择， 而不是取决于控制u(t)在t时刻的值；因此J[u(· )]是控制函 数u(· )的函数（称为u(· )的泛函）。
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习题
1.求使 min f ( X ) 4x12 5x2 2 , 且 g ( X ) 2x1 3x2 6 0
2.求原点到曲线 y 2 ( x 1) 3 0 的距离为最小。 3.求函数极值 f ( X ) x1 2 x2 2 x3 2，若 ( x1 x2 )2 x32 1
t* f
2．tf和x(tf)受c(tf)曲线约束 x(t0)=x0
* x(t * ) c ( t f f ) L c(t ) x(t ) L 0, x
3． tf自由，x(tf)固定 x(t0)=x0和x(tf*)=xf
L (t ) Lx 0, x t t* f
( x , x , t ) m
引入矢量拉格郎日乘子λ(t)=[λ1(t) λ2(t) …λm(t)]T将微 分方程约束条件结合到性能泛函中构成一个新泛函，即
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, t ] λ TΛ[x, x , t ] dt J' L[x, x
t0
tf


于是，在微分方程组约束下求泛函的条件极值问题，只 需用拉格朗日乘子法将有约束条件问题转化为无约束条件问 题来解决。假设函数x1(t)，x2(t)，…，xn(t) ，λ1(t)， λ2(t)， …， λm(t)使泛函J'取极值，那么这n+m个函数必须满足下面 n+m个欧拉方程：
基本内容
最优控制理论
•古典变分法 •极大值原理 •动态规划
最优控制系统
•最速控制系统 •二次型性能指标的最优控制 •最省燃料控制系统 •最小能量控制系统 •……
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最优控制的理论研究
非线性系统的最优控制；分布参数系统的最优控制（无 限维系统的最优控制）；随机系统的最优控制；多目标系统 的最优控制（微分对策）；最优自适应控制；大系统的最优 控制；广义系统的最优控制；模糊最优控制；次最优控制； 鲁棒最优控制；奇异最优控制；最优控制的数值方法；抽象 代数工具（例如范畴理论和李群论）在最优控制中的应用； ……
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最优控制问题可表述为：寻找一个容许控制u(t) ，使受控 系统从某个给定的初始状态 x (t 0 ) x0 出发，在末端时刻 t f 达 到目标集，并且使性能指标J[u(· )] 达到极小值或极大值。 如果问题有解，则称求得的容许控制为最优控制，记为 u*(t) ；在u*(t)作用下系统状态方程的解称为最优轨线，记为 x*(t) ；相应的性能指标值J [u*(· )] ，称为最优指标值。在数学 上，最优控制问题的实质，是对受约束的泛函J[u(· )]求极值的 问题，其中的约束条件为系统的状态方程、目标集方程和容许 控制域。 开环控制与闭环控制：最优控制的一类形式是表示为时间 变量t的函数，称为程序控制或开环控制。它的缺点是不能抑 制扰动。最优控制的另一类形式是状态反馈，称为综合控制或 闭环控制。其优点是对抑制扰动有利。
1
取极值的y*(x)。
2 y 2 )dx 3、y(0)=1，y(π/4)自由，求使 J 0 ( y
取极值的y*(x)。
4
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4、给定系统
1 x2 x
x1 (0) 1
x1 (1) 0
x2 u(t ) x2 (0) 1 x2 (1) 自由
1 1 2 求使 J u (t )dt 取极小值的u*(t)。 2 0 1 x 5、试求从(0，1)引向直线 y 2 3 的最短曲线的函数。 dJ J 0 6、利用一阶变分的定义 d 0
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性能指标泛函的三种形式 变分法
拉格郎日(Lagrange)形式(积分型)
(t ), t ]dt J L[ x(t ), x
t0 tf
马耶耳(Mayer)形式(末值型) J [[x(t f ),t f ] 波尔扎(Bolza)形式(混合型)
(t ), t ]dt J [[x(t f ), t f ] L[ x(t ), x
x(t0 ) x0
和
L 0 t t f x
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(3)未定始端、固定终端问题 (t0 ) 可任意选择 这时 (t f ) 0 ， 。于是，相应的横截条件是 L 0 和 x(t f ) x f t t 0 x (4)未定端点问题 假设 (t0 ) ， (t f ) 互不相关，横截 条件可写成 L L 和 (t ) 0 (t ) 0 x x t t f t t 0 又知道 (t0 )和 (t f ) 任意，于是 得到横截条件 L L 和 0 0 t t x t t 0 x
那么，如果u*(t) 、x*(t) 、tf*分别是最优控制、最优轨线和最 优终端时间， 则它们同λ*(t)一起在区间[t0，tf]上必须满足：
对于初始状态固定，终端受约束的可动边界问题，可得 欧拉方程和横截条件的矢量形式
x(t0 ) x 0 L d L * * 0（欧拉方程） c ( t ) x ( t ) （横截条件） f f x dt x T L * x ) L (c 0, t t f x
, xn ) j g j ( x1 , x2 ,
j 1
m
, xn )
函数L有极值的必要条件为
m g j L f j 0 xi xi xi j 1 L g j ( x1 , x2 , , xn ) 0 j
i 1,2,, n
j 1,2,, m
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有约束条件的函数极值问题--拉格朗日乘子法
设具有个n变量的多元函数为
f (x) f ( x1, x2 ,
xn )
X的各分量满足下面的m个等式约束方程 拉格朗日函数
g j ( x1, x2 ,, xn ) 0 j 1,2,, m (m n)
L(x, λ) f ( x1, x2 ,
和
f L (t ) 0 （横截条件） x t t 0
t t
欧拉方程是二阶微分方程，它的解包含两个积分常数。 这两个积分常数要利用边界条件x(t0)=x0和x(tf)=xf来确定。只 有满足欧拉方程同时又满足边界条件的函数，才能在满足给 定端点条件下使泛函达到它的极值。因此，求解变分或寻找 泛函的极值函数问题归结为求解欧拉方程。
t0 tf
x(t0)=x0
L 0, t t f
*
L * * * * * L * ( t ) ( t ) L [ x ( t ), x ( t ), t t f f f f ]0 0, t t f (确定末端状态) x x t0 x
(确定末端时间)
L d L 0 x dt x
最优控制的应用研究
航空航天；机械加工；化工过程；能源控制；汽车；机 器人；生物系统；环境系统；社会与经济系统；……
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最优控制问题的一般描述
最优控制问题的四个要素： ① 受控系统或过程的数学模型 x f [ x ( t ), u ( t ), t ] ② 容许控制的集合Uad 工程实际因素的限制。例如， 控制飞机的舵偏角是受限制的，控制电机的电流是受限 制的。 ③ 边界条件 初态通常已知。目标集S可以表示为 S x{ x ( t f ) : x ( t f ) R n , N 1 [ x ( t f ), t f ] 0 , N 2 [ x ( t f ), t f ] 0}
t t* f
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欧拉方程和横截条件的矢量形式
假设性能泛函
1 , x 2 ,, x n , t ]dt J [ x1 , x2 ,, xn ] L[ x1 , x2 ,, xn , x
t0 tf
, t ]dt 把它写成矢量形式，则有 J [x] t L[x, x
0
tf
t0 tf
在变分法中，当性能指标泛函的形式为Lagrange形 式、Mayer形式和Bolza形式时，泛函取极值的问题分别 称为Lagrange问题、Mayer问题和Bolza问题。
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无约束条件的变分问题：tf 固定
对于端点时间固定，而端点状态未规定的情况，则必 要条件包括下面两个方程
L d L 0 （欧拉方程） x dt x
L' d L' 0, i 1,2,, n i xi dt x 1, x 2 ,, x n , t ) 0, j 1,2,, m j ( x1, x2 ,, xn , x
L' d L' , t] 0 0, [x, x 或写成矢量形式 x dt x
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有等式约束的变分问题
, t ]dt 如果给出性能泛函 J [x] t L[x, x
0
tf
其中x=[x1 x2 … xn]T是n 维矢量，要求在矢量微分方程
, t] 0 [x, x
的约束下求泛函J的极值，其中 , t) 1 ( x, x ( x, x , t ) (m<n) , t] 2 [ x, x
假设t0固定，tf未规定。纯量函数Φ和L连续可微，初始 状态x(t0)未规定，终端状态受 N[ x(t f ),t f ] 0约束。 定义哈米尔登函数 H[ x(t ),u(t ), (t ),t ] L[ x(t ),u(t ),t ] T (t ) f [(x(t ),u(t ),t ]
在这里我们把辅助泛函J'作为依赖于n+m个自变量函数 x1，x2，…，xn，λ1，λ2，…，λm的泛函来看待。