赢在微点★倾情奉献文科数学押题卷(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}2．已知复数z ＝1－2i（1＋i ）2，则z 的虚部为( )A ．－12B ．12C ．－12iD ．12i3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份1 2 3 4 5 6 人均销售额6 5 8 3 47 利润率(%)12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 A ．利润率与人均销售额成正相关关系 B ．利润率与人均销售额成负相关关系 C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系 D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系4．已知a ＝⎝⎛⎭⎫13π，b ＝⎝⎛⎭⎫1312，c ＝π12，则下列不等式正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a5．已知某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是边长为3的正三角形，则该几何体的体积为( )A ．πB ．π2 C ．3π8 D ．π46．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝－35，cos B ＝45，a ＝20，则c ＝( )A ．10B ．7C ．6D ．5 7．函数f (x )＝ln|x |·sin x 的图象大致为( )A B C D 8．执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为( )A ．4B ．6C ．8D ．109．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A ．13B ．12C ．23D ．310．数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式V －E ＋F ＝2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。
若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为( )A ．10B ．12C ．15D ．2011．三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，已知SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝2，且2a ＋b ＝52，则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为( )A ．21π4B ．17π4C ．4πD ．6π12．已知函数f (x )＝2x ＋log 32＋x 2－x，若不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >0x －y ＋1>0x ＋y －3<0，则z ＝2x －y 的取值范围为________。
14．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形。
谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出。
具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图。
现在上述图③中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为________。
15．已知数列{a n }满足a n ＝n n ＋1，则a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0182 0182＝________。
16．已知函数f (x )＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ，把函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为________。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为 32ac cos B ，且sin A ＝3sin C 。
(1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长。
18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为平行四边形，沿BD 将△ABD 折起，使点A 到达点P 。
(1)点M ，N 分别在线段PC ，PD 上，CD ∥平面BMN ，试确定M ，N 的位置，使得平面BMN 平分三棱锥P －BCD 的体积；(2)若AD ＝2AB ，∠A ＝60°，平面PBD ⊥平面BCD ，求证：平面PCD ⊥平面PBD 。
19．(本小题满分12分)近年来，以马拉松为龙头的群众体育运动蓬勃发展，引领了全民健身新时尚。
某城市举办城市马拉松比赛，比赛结束后采用分层抽样的方式随机抽取了100名选手，对选手的年龄进行(2)为了调查跑全程马拉松比赛是否需要志愿志提供帮助，现对100名选手进行调查，调查结果如下，据此调查，能否有99%附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(n ＝a ＋b ＋c ＋d )。
20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上存在一点P满足PF 1⊥F 1F 2，且sin ∠F 2PF 1＝45，△F 2PF 1的周长为6。
(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 2作斜率存在且不为零的直线交椭圆于A ，B 两点，如图，已知直线l ：x ＝4，过点A 作l 的垂线交l 于点M ，连接F 2M ，MB ，设直线F 2M ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 2＝2k 1。
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2ln x －x ＋1x。
(1)讨论f (x )的单调性；(2)若a >0，b >0，证明：ab <a －b ln a －ln b <a ＋b2。
(二)选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝8cos θ1－cos2θ。
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，过点(1，0)且与l 垂直的直线l ′与曲线C 交于C ，D 两点，求|AB |＋|CD |的最小值。
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|。
(1)求不等式f (x )≤5的解集；(2)设f (x )的最小值m ，若a ，b 为正实数，且2a ＋3b ＝m ，求证：1a ＋b ＋4a ＋2b>m 。
参考答案与试题解析1．B A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }＝{0，1，2}。
故选B 。
2．A z ＝1－2i （1＋i ）2＝1－2i 2i ＝（1－2i ）·i －2＝i ＋2－2＝－1－12i ，所以虚部为－12。
故选A 。
3．A 画出利润率与人均销售额的散点图，如图。
由图可知利润率与人均销售额成正相关关系。
故选A 。
4．D 函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在定义域内是减函数，所以⎝⎛⎭⎫13π<⎝⎛⎭⎫1312<⎝⎛⎭⎫130＝1<π12，即a <b <c 。
故选D 。
5．C 由三视图可知该几何体是一个圆锥，其底面半径为32，高为3×32＝32，所以圆锥的体积V ＝13π⎝⎛⎭⎫322×32＝3π8。
故选C 。
6．B 由cos A ＝－35，cos B ＝45，得sin A ＝45，sin B ＝35，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×45－35×35＝725。
根据正弦定理，得a sin A ＝c sin C ，即2045＝c 725，解得c ＝7。
故选B 。
7．A 由于f (－x )＝ln|－x |·sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，图象关于原点对称，又当0<x <1时，f (x )＝ln x ·sin x <0。
故选A 。
8．C 初始值S ＝100，k ＝0，第一次循环，S ＝99，k ＝2；第二次循环，S ＝95，k ＝4；第三次循环，S ＝79，k ＝6；第四次循环，S ＝15，k ＝8；第五次循环，S ＝－241，此时满足S ≤－100，输出k ＝8。
故选C 。
9．A 如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2。
所以|AF 1||AF 2|＝13。
故选A 。
10．B 二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用，所以棱数E ＝20×3×12＝30，面数F ＝20，顶点数V ＝E －F ＋2＝12。
故选B 。
11．A 由题意，设三棱锥的外接球的半径为R ，因为SA ，SB ，SC 两两垂直，所以以SA ，SB ，SC 为棱构造长方体，其体对角线即三棱锥的外接球的直径，因为SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝2，所以4R 2＝a 2＋b 2＋4＝a 2＋⎝⎛⎭⎫52－2a 2＋4＝5(a －1)2＋214，所以a ＝1时，(4R 2)min ＝214，所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为21π4。
故选A 。
12．D 由2＋x 2－x >0得x ∈(－2，2)，又y ＝2x 在(－2，2)上单调递增，y ＝log 32＋x 2－x ＝log 3x －2＋42－x ＝log 3⎝⎛⎭⎫－1－4x －2在(－2，2)上单调递增，所以函数f (x )为增函数，又f (1)＝3，所以不等式⎪⎭⎫⎝⎛mf 1>3成立等价于不等式⎪⎭⎫⎝⎛m f 1>f (1)成立，所以⎩⎨⎧－2<1m <21m>1，解得12<m <1。